free, meinongian, inclusive

古典的な一階論理から踏み外す3つの方法について考えてみる。

• タームの指示対象は量化のドメインのメンバーである。

自由論理free logicでは、この仮定が外れる。「ゼウス」みたいな名前は指示対象がないか、あったとしてもゼウスは量化のドメイン外に置かれる。

自由「論理」というくらいなので、古典論理とは異なる論理であり、古典論理の妥当式が妥当でなくなったりする。例えば、「∀xFx → Fa」のような全称例化は妥当でない。そういうわけなので、「あらゆるものはいずれ滅びる」と「ゼウスは不滅である」を両方認めたい人には、自由論理は好ましい論理かもしれない*1。

• 量化のドメインのメンバーは存在する。

マイノング的意味論では、この仮定が外れる。量化のドメインは、存在するものと存在しないものをどちらも含む。「∃x￢Ex」のような式が書ける。この式の「∃」は文字通り「いくつかの」といった意味であり存在措定していない。「（虚構的対象のように）存在しないものもあるよね」などと言いたい人は、この意味論を好ましく思うかもしれない。

この意味論の素晴らしいところは、論理を変えるわけではないところ。先に挙げた全称例化の式も妥当である。1階の存在述語Eを導入するだけのこと*2。

• 量化のドメインは空でない（non-empty）

inclusive logicはこの仮定を落とす。ドメインが空の場合、存在量化文がすべて偽になるというのがポイントになる。例えば、「∃x x=x」は古典論理の妥当式だが、量化のドメインが空なら偽なので、inclusive logicでは偽である。論理学は特定の存在にコミットしないのだから、存在量化文が論理的真理になるのは変だ、という人はこの帰結を好ましく思うかもしれない*3。

ドメインが空の場合、存在量化文がすべて偽になる一方で、全称量化文はすべて真になる。例えば、∀x (Fx ＆ not-Fx) は真となる。古典論理ではこれの否定が妥当式なのだが。

自由論理とinclusive logicはいちおう区別すべきである。タームの指示対象が量化のドメインのメンバーとは限らない、と言いつつ、量化のドメインは空でない、と取り決めることはできる。その場合、全称例化は妥当式でなくなるが「∀xFx → ∃xFx」は妥当式であり続ける。inclusive logicではこれは妥当式でない。

ただし、自由論理とinclusive logicは組み合わせて使われることがよくある。その場合は普遍的な自由論理（universally free logic）とかいう。

*1:cf. 飯田隆『言語哲学大全』3巻

*2:cf. タフコ『アリストテレス的現代形而上学』所収のクレイン論文。

*3:cf. ラッセル『数理哲学序説』、クワイン『論理的観点から』第9論文

数理神学

落合仁司という神学研究者知ってる？本業は経済学なんだけど、俺からみるとトンデモ系なんだね。神の存在は数学的に証明できると言っている。カントールの集合論があるでしょ。…それで彼は、神には矛盾してることがたくさんあると。たとえば三位一体は、神は1なんだけど3であり、3であって1である。これは人間には理解できない。それは、神は絶対無限の存在だからであると言うんだよ。…数は無限にあると。また偶数も基数も無限にある。だから偶数と奇数を足したら、二無限にならなければならないのに、無限はひとつであると。だから神が1にして3、3にして1であってもおかしくないという論証なんだよ。

…そもそも無限は数ではないんだよ。だから無限と無限を足しても二無限になるはずがない*1。

落合の数理神学がトンデモ系だということは多くの人が言ってるし、私もそう思う。だけど、ここで呉智英が言ってることは雑だし、落合の議論の奇妙さを捉えることに失敗してると思う。

なぜ雑なのか。落合は、三位一体論という神学の命題を証明できると主張しており、神の存在は無限公理として措定してるのではないかと思う。それと、無限基数は自然数や実数ではないという意味で数ではないだろうけど、足し算とかの演算を無限基数にまで（矛盾することなく）拡張できるということは、カントールの集合論が保証している。そもそも落合が訴えてるのは、無限基数の足し算ではなく、むしろ、無限集合では部分集合と一対一対応をとれる、という命題の方ではないかと思う。

では実際にはどこが奇妙なのか。まず、落合の議論をざっくり言うと、神の本質というのが無限集合として与えられたとして、その無限部分集合として父・子・聖霊を考える、すると一対一対応がとれる、だから神の本質は一つだけど、3つの位格をもつというのも整合的に理解できる、というものだと思う。これの問題点は、『ギリシャ正教 無限の神』に対するamazonレビューの指摘が的確に思える。

落合の「証明」は、「無限集合においては全体と部分は（濃度が）等しい」という集合論の定理に拠っている。そのため、全体である神（の本質）を、まずは三つの部分に「分割」しなくては、無限集合論を三一論に適用できない。しかし、そうした操作は不可能なのである。というのは、

　神は分割できない

からである。それゆえ、言うまでもなく、三つの位格は、神の本質を三分割したものではない*2。

このレビューは「神は分割できない」の典拠も挙げていて偉い。

ところで、上で引用した呉の発言は次のように続く。

でもこの落合という人が、変なことを書いて、無限や絶対ということに引き寄せられた気持ちはわかるんだよ。人間存在は有限だけど、それは無限を前提にしている。つまり、人間は不完全なものだと言うけど、もともと、不完全な本来の在り方なんだね。 

私は呉が言うのとは全然別の理由で落合のやろうとしたことは理解できなくはないと思う。三位一体は信仰箇条であり、理性によってはその真理が把握できない、らしい。でも、真理を把握できないとしても、せめて無矛盾性とか充足可能性、そのくらいは理性によって把握できてもよくないだろうか？しかし、それを示すには三位一体をフォーマルな（？）命題として定式化しないと始まらない。本当にそんなことができるのかどうかは私は知らないし、大して興味もないけど、そういう課題がありうる、ということくらいは理解できる気がするのである。

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• ゲーデルの定理（6） - Skinerrian's blog

*1:『愚民文明の暴走』pp.59-60

*2:Amazon CAPTCHA

起源の剽窃

あまりに偉大な文化的名声のゆえに、ギリシャ哲学は憤りを買うこともあった。ギリシャ哲学によって自分たちが文化的に追いやられていると感じた集団が、ギリシャ哲学には新しいものは全く何もない、それはことわりもなく剽窃を行なってきた伝統にすぎないと主張しさえした…初期のキリスト教教父は、異教徒の哲学者たちが彼らの考えをユダヤ教の聖典から盗んだのだと考えていた。20世紀のアフリカ中心主義的な作家は、エジプトの神秘宗教について同じような主張を行なっている。しかしながら、それらの主張は歴史的に観ればまったく成算のない考えである*1。

プラトンはアッティカ方言を話すモーゼだ、といったフレーズはしばしば目にするけど、このフレーズの背景にあるのは「ユダヤ教の方がギリシャ哲学より先だ」という考え方なのだね*2。

木田元は、プラトンはソクラテスが処刑された後、世界漫遊旅行に出かけ、北アフリカでユダヤ人と出会ったことでイデア論を思い付いたとか、推測してたけど*3、それはここでいう「成算のない考え」の典型ではないかと思われる。長年にわたってプラトンが旅行に出かけたのは本当だろうが、どこに行ったのかは定かでない。ユダヤ教に接したという推測の根拠としては、アウグスティヌスの『神の国』8巻11章あたりが考えられるプラトンはエジプトに滞在したことがあり、そこで聖書についての知識を獲得し、それによって『ティマイオス』の創世神話を書いた、と。しかし、この記述の信ぴょう性は高くない。

*1:ジュリア・アナス『古代哲学』p.157

*2:「20世紀のアフリカ中心主義的な作家は、エジプトの神秘宗教について同じような主張を行なっている」というのは、たぶんバナールの『黒いアテナ』のことだろう。

*3:木田『反哲学入門』pp.87-88

ゲーデルの定理（6）

「自然数論は無矛盾であるならば不完全である」、これがゲーデルの第一不完全性定理である。さらにゲーデルはもっと驚くべき定理を証明した。今自然数論の無矛盾性が証明されたと仮定しよう。このとき「この命題は証明可能でない」という命題が論理的に真であることが証明されたことになる。なぜなら他に選択の余地はないからである。しかしながら「この命題は証明可能でない」という命題が証明されたことは、「この命題は証明可能でない」という命題が証明可能であることに他ならない。証明可能でない命題が証明可能である。これは矛盾である。したがって自然数論の無矛盾性は証明できない。「自然数論の無矛盾性は証明可能でない」、これがゲーデルの第二不完全性定理である*1。

大筋は合ってるように思うのだが、にしても「なぜなら他に選択の余地はないからである」というフレーズは凄い。さも自明であるかのようだが、実のところ、これの証明が第二不完全性定理の肝なのではないか。

たしかに、ごく大雑把にいえば、第二不完全性定理の証明の流れは以下のようだ。まず、自然数論をT、ゲーデル文をg、証明可能性述語（可証性述語）をPrvとして

• T |- Con(T) → ¬Prv(g)

を何とか証明する。ここで

• T |- Con(T)

を仮定すると

• T |- ¬Prv(g)

が出てくる。ゲーデル文の特性から

• T |- g iff ¬Prv(g)

なので、

• T |- g

となるが、これは（Tが無矛盾なら）不整合なので、「無矛盾性を証明できる」という仮定がおかしい。よって自分の無矛盾性は証明できない（q.e.d）。

この構図は割とシンプルである。問題は、最初の条件文を証明するのが大変だということ。厳密な証明は、証明可能性述語に関する三つの有名な可導性条件を利用する。事典の項目なのでスペースが限られているのは理解できるが、せめて、この条件文が第一不完全性定理の形式化であることを明示すべきだったと思う。

*1:落合仁司「合理性」『事典哲学の木』p.371

最凶の敵は自分の中にいる

The worst foe lies within the self.

最凶の敵は自分の中にいる。

スクウェアの Parasite Eve のオープニングムービーに出てくるこのフレーズ。どうもニーチェの『ツァラトゥストラはかく語りき』第一部の「創造者の道」に由来する*1。

しかし君が出会う最悪の敵は、いつも君自身であるだろう。洞穴においても、森においても、君自身が君を待ち伏せしているのだ。

ニーチェの言葉とされるものは、しばしば典拠が不明だったりするので注意が必要だが*2、これは対応する箇所を運よく見つけられた。

まぁ、由来なんて知らなくても、これがどういう意味なのかは２周目の隠しエンディングを迎えれば分かるようにできている。というか、最凶の敵が自分の中にいる、というモチーフはある意味最初から暗示されている。シナリオ１日目で、イヴは「おまえの細胞の奥から聞こえるはずだ…目覚めよと呼ぶ声が…」と言っている。そういうわけで、エンディングでバッハの「カンタータ140番　目覚めよと呼ぶ声あり」がオルゴール音で流れる。しかも、同じメロディーが冒頭の Waiting for Something Awakens というBGMのド真ん中でノイズのように出現するし…。

*1:西尾幹二『ニーチェとの対話』p.66

*2:例えば、「過去が現在に影響を与えるように、 未来も現在に影響を与える」とか、ニーチェの言葉としてよく引用されてるけど、一体どこに書いてあるんだろう…。

t検定

『みんなのR』という本（初版）を使って、統計とプログラミング言語のRを並行して勉強している。しかし、やり始めて分かったが、この本は統計についての解説が分量的にかなり貧弱で、すでに理解のある人でないと読みこなすのが難しい。私の場合、初心者に毛が生えた程度の統計リテラシーなので、どうしても不安が残る。

例えば、t検定について解説してる15.3節。従業員が一日に受け取ったチップの金額のリストが与えられたとき、その平均金額が2.5ドルであるという仮説をt検定にかけて棄却する、という具体例を提示している。しかし、ここで気になるのはそんなに安易にt検定を適用していいのか、である。この種の問題でt検定を使用する条件には、母集団が正規分布に従うという前提が入っていると思う。それで、従業員のチップが正規分布に従ってるかどうかを、シャピロ・ウィルク検定（shapiro.test）にかけると統計的に有意なので棄却されてしまう…。大丈夫なのだろうか？

安易な手段ではあるが、wikipediaで「t検定」について調べたところ、次のように書いてあった。

中心極限定理によると、母集団の分布が正規分布に従わない標本でさえも、サンプル数が多くなればなるほど、標本平均は正規分布に近似していく。…母集団が正規分布から完全に逸脱した分布に従っていて、標本サイズが十分に大きな場合（大学の初等の統計の教科書などではn＞30などと載っている場合があるが、勿論多ければ多いほど良い）、Z検定で近似的な確率を計算できる。ただしt値は自由度が上がるとZ値に近似するため、計算上はt検定を用いても殆ど大差ない結果を得られる（哲学的には異なるが）。それがt検定が頑強（robust）であると言われる所以である。

先の具体例では標本のサイズが244だったので、十分に大きい。よって、母集団分布が正規じゃないけどt検定を使ってもいいだろう、ということなのだろう、おそらく。

ステファヌス数

岩波文庫などでプラトンの本を手に取ると、ページの上の方に数字が印字してあるのが目につく。これはステファノス数といって、1578年に古典学者・印刷業者のアンリ・エティエンヌ（ラテン名ヘンリクス・ステファヌス）によって刊行された3巻本のプラトン全集のページ数に由来する。ステファヌス版の全集は、ギリシャ語原文とラテン語訳を併記していて便利だったので、現代でも引用箇所を示すときにはステファヌス数を明記するのが慣例になっている。

上述のような説明は、ブラックバーンの『プラトンの『国家』』冒頭の「凡例」（p.4）で与えられている。大学に入ったころの私は、この本でステファノス数について知ったので、この本はかなり懐かしい本である。ところが、最近この箇所の邦訳に誤訳を見つけた。邦訳では、エティエンヌのプラトン全集は「ジェノヴァ」で刊行されたと書いてあるのだが、これは「ジュネーヴGeneva」の間違いである*1。ジェノヴァの綴りは「Genova」である*2。これは、木田元のような碩学にしては結構恥ずかしい間違いではないかと思われる。

なお、プラトンの著作がどのような経緯で現代に伝わったのかについては、次の本の納富先生の解説が素人にも分かりやすくて便利だ。

テクストとは何か:編集文献学入門

*1:ちなみに、ジュネーブ大学はフランス語圏ではめずらしく分析哲学の牙城になっているらしい。これはパスカル・アンジェルという著名な研究者のおかげかもしれない。

*2:ちなみに、FF7のジェノバの綴りは「Jenova」。