論理学のメモ。まず、次の問題を考えてみる*1。
Γ |= αvβ ならば、Γ |= α または Γ |= β といえるか？言えない場合には反例をつくれ。
答えはもちろん「言えない」。Γ = {αvβ} が反例になる。
しかし、これは古典論理の話であって、直観主義だと成り立つのでは？と言われたので少し考えてみた。たしかに、LJのカット除去定理の系で選言特性というものがあるので、完全性定理により
- |= αvβ ならば |= α または|= β
は成り立ちそうだ。これは古典論理にはない性質であり、例えば、|= αv￢α だが、必ずしも |= α または |= ￢α というわけではない。しかし、直観主義でも {αvβ} |= α または {αvβ} |= β が成り立つとは思えない。上のような選言特性を「Γ |= αvβ ならば、Γ |= α または Γ |= β」へと完全に一般化するのは無理ではないか。
…などと考えつつ論理学の教科書を適当に見ていたら*2、Γをハロップ論理式の集合に制限すれば、LJで「Γ |- αvβ ならば、Γ |- α または Γ |- β」が成り立つとあったので、この辺りが正解っぽいなと思った。確認・証明はご自由に。
