Skinerrian's blog

論理学・哲学・科学史・社会学などに興味があるので、その方面のことを書きます。更新は不定期。

伝統論理と存在措定

伝統論理と現代の論理学の違いとして、主語概念の存在措定がよく指摘される。実際のところ、伝統的な三段論法の中には、存在措定なしには妥当でないものが幾つか混じっている。例えば、

  • すべてのMはPである
  • すべてのSはMである
  • よって、あるSはPである

たしかに、二つの前提から「すべてのSはPである」が帰結する。問題は「すべてのSはPである」から「あるSはPである」が帰結するかどうかである。常識的には帰結しそうに思える。しかし、論理学の初歩で習うように「すべてのSはPである」という形式の文は

  • ∀x(Sx→Px)

と記号化されるため、Sが空虚であればこの文は真になってしまうのに対し、「あるSはPである」が真であるためにはSが空虚であってはならない。よって、「すべてのSはPである」から「あるSはPである」が帰結することは、現代の論理学では、ない。つまり、伝統的に妥当とされてきた三段論法のいくつかは、現代の論理学では妥当な推論ではないということになる。

伝統的に妥当とされてきた三段論法をすべて守りたければ、全称命題の記号化・解釈をいじるしかない。例えば「すべてのSはPである」と「すべてのSはPでない」を

  • ∀x(Sx→Px) & ∃xSx
  • ∀x(Sx→¬Px) & ∃xSx

という風に解釈する。赤字の部分を加えて全称命題を解釈すれば、伝統的な三段論法の規則はすべて救うことができる。実際、これは自然である。子供のいない男性が、彼の子供がみな眠っているかどうかと尋ねられれば、子供がいないという理由で「そうだ」と答えるとは考えにくい。

しかし、伝統論理には対当表というものがある*1。それによると、全称肯定命題Aは特称否定命題Oと、全称否定命題Eは特称肯定命題Iと、矛盾対当の関係にあるとされる*2。つまり、一方が真なら他方は偽であり、ともに真であったりともに偽であることはない。ところが、全称命題の主語は空虚でないと解釈すると、AとOは矛盾対当ではなくなってしまう。「すべてのSはPである」を∀x(Sx→Px)と解釈し、「あるSはPでない」を∃x(Sx & not-Px) と解釈すれば、これらは矛盾対当の関係に立つ。「すべてのSはPである」を∀x(Sx→Px) & ∃xSxと解釈すれば、Sが空虚なときにはともに偽となり、矛盾対当の関係には立たない*3

したがって、ここにはジレンマがある。伝統的に妥当とされてきた三段論法の規則をすべて守ろうとすると、対当表が壊れる。対当表を守ろうとすると、三段論法のいくつかが妥当でなくなる。伝統論理をそっくりそのまま維持することはできない。

このジレンマについて、ピーター・ストローソンは、それは見せかけだと主張した*4。主語述語文は主語概念が空虚でないということを前提する。よって、主語概念が空虚な文は有意味だが真でも偽でもない、と彼は考えた。そして、伝統的な規則ひとつひとつに対して、「もし文の主語概念が真または偽であるとすれば」という条件をつけることにすれば、伝統的に妥当とされてきた三段論法と対当表はすべて維持できる、と言う。

巧妙なアイデアだが、真でも偽でもないケースを考える必要がでてくるため、このアイデアを形式的に取り扱うのはだいぶ面倒になるに違いない。

*1:山下正男『思想の中の数学的構造』は、対当表がクラインの四元群をつくるという興味深い指摘をしている。http://ccoe.main.jp/easy_Diary2/dia2011.html#September11_2011

*2:伝統論理では、肯定AffIrmと否定nEgOの母音をつかって全称/特称の肯定/否定を表現する。

*3:対当表を維持しようとすると「AがIを含意する」とか「EはOを含意する」と言えなくなる、という意味で全称命題と特称命題の間にギャップがある。この点にはじめて気づいたのはアベラールだそうである。大澤真幸『世界史の哲学 東洋篇』28章

*4:ストローソン「指示について」邦訳pp.249-251、『論理の基礎』下巻p.215-

ジェンダー

ある有名な症例研究では、生後八か月の男児が包皮切除の失敗でペニスを失った。両親は有名な性研究家のジョン・マネーに相談した。マネーはかねて「自然な姿というのは、性差の現状を維持しようとする者たちの政治的戦略である」と主張していた。彼は、赤ちゃんの精巣を除去して人工的に膣を形成するように助言し、両親は本人には事情を伏せて女の子として育てた。私は1970年代に学部学生としてこの症例を知ったのだが、そのときこの症例は、赤ちゃんは生まれたときは中性だが育てられかたでジェンダーを獲得することを示す症例として提示された。この時代の『ニューヨーク・タイムズ』のある記事は、ブレンダは「正真正銘の女の子として子供時代を満足そうに過ごしている」と報じた。事実は1997年まで伏せられていたが、実はブレンダは小さいときから自分を女の子の体とジェンダー・ロールに閉じ込められた男の子だと感じていたということがあきらかにされた。彼女はフリルのついた服をぬぎすて、人形を拒否してピストルを欲しがり、男の子と遊ぶのが好きで、立っておしっこをすると言い張った。14歳のとき、あまりにもつらいので男として生きるか死ぬかのどちらかにしようと決意した彼女に、とうとう父親が真実を話した。彼女は新たに手術を受けて男のアイデンティティを身に着け、現在はある女性としあわせな結婚生活を送っている*1

最近、この話にはさらに悲劇的な後日談があることを知った。

この人物の実名は現在公表されている。BruceからBrendaとなり、2度目の男としての名前はDavidである。この話は1冊の本として紹介されていて、2002年にはテレビドキュメンタリー番組(NOVA's "sex: Unknown")でDavidと母親、Diamond医師、そしてこの不幸な症例にかかわったほかの人たちのインタビューが紹介されている。悲しいことにDavidは後に仕事を失い、離婚し、2004年5月、38歳で自殺した*2

*1:ピンカー『人間の本性を考える』下巻pp.130-131

*2:カールソン『神経科学テキスト』4版、p.334

実証主義

お勉強メモ。

positiveという語*1

後期のシェリングは、これまでの哲学は消極哲学だが、自分の哲学は積極哲学positive Philosophieだと言った。このように積極的と訳す場合のpositivにはnegativが対義語となるが、事実に基づく・実定的という意味で使うときには対義語がない。

poseという動詞には「置く」という意味があるが、もともとこの動詞の主語は神だった。そのため、神が置いた=理屈では説明がつかない所与、といった意味があった。実際、例えば、ヘーゲルキリスト教の精神とその運命」は、事実として成立しているが理性によっては理解できない既成の制度や宗教的戒律のことをPositivitätと表現している。

いわゆる「実証主義」という場合にはそういう神学的由来は忘れられている。では、いわゆる実証主義とはどのような考え方なのか。

実証主義的な考え方のルーツ*2

実証主義とは、科学の対象は観察可能なものの法則的な関係に限定する、という立場である。観念論と実証主義は違う。観念論をとらずに実証主義をとることはできる。現代の論争でいう反実在論はそういう立場。

実証主義の出発点はダランベールダランベールは活力論争を終わらせた人物として知られる。この論争は現代からみると単なる言葉の使い方についての論争に見えるが、当時はもっと実質があった。

中世のインペトゥスのように、力というものは物体に込められている何かだ、という考えがまだ大陸の物理学者たちには残っていた。だから、その何かと対応するのは運動量なのかエネルギーなのか、という問いにも意味があった。そんな問題はどうでもいい、と言ったのがダランベール。ただし、重要なのはそう主張する理由だ。彼は実証主義的な立場から、運動する物体に内在する力という観念は目に見えないものについて語っているから、無意味で形而上学的だ、と考えた。

しかし、ダランベールにこうした見解を吹き込んだのは誰か。一つの答えはマルブランシュ!*3 彼は何事にも神様をもちだす機会原因論者だが、彼は物体と物体の因果関係を機会原因とみなすにあたって、通常の力とか因果のイメージを完全に否定するのだった。マルブランシュは実際に、目に見えるのは物体の動きだけで、物体の中に込められた力なんて見えないではないか、と言っている。

実証主義

ちなみに、法学にも実証主義と呼ばれる立場がある。この分野にはまったく明るくないのだが、法学の研究対象は人が定めた実定法だけに限るべきだと考え、自然法や社会契約説に批判的な立場らしい。

この立場を「実証主義」と呼ぶのはミスリーディング、あるいは誤訳だという意見もある。

実証主義とはlegal positivismの訳で、法は人が置く(pose)ものだとする立場ですから、本来「法の人定主義」と訳すべきものです。*4

ただ、wikipediaの記事は、実証主義を法学に応用した考え方だとか、経験的に検証可能な社会的事実として存在する限りにおいての実定法のみを法学の対象と考える立場だ、といった紹介をしている。私はべつに「実証主義」と訳してもいいのではないかなという印象をもっている。

*1:木田元『わたしの哲学入門』p.271以下

*2:伊勢田『科学哲学の源流をたどる』4章

*3:あとがきによると、本書はデカルト研究者の故小林道夫に捧げられているのだが、一番読んでもらいたかったのはこの箇所なのだろう。

*4:http://www.miyadai.com/index.php?itemid=224

二重否定除去則と排中律

直観主義論理は排中律と二重否定除去則が成り立たない論理として知られる。どちらか一方を付け加えると、他方も導出できて、古典論理になる。

それでは、排中律と二重否定除去則は同値といってよいのだろうか。もちろん、直観主義論理の上では同値なのだが、これはもうちょっと奥の深い問題のようだ。

例えば、最小論理の上ではどうなるか調べてみる*1。最小論理とは直観主義論理からEFQを取り除いた論理だが、最小論理に二重否定除去則を加えるとEFQを導出できるため、一挙に古典論理となる。他方、最小論理に排中律を加えても古典論理にはならない。したがって、図式的に書くと

となる。

このことは二重否定除去則の方が排中律より強力であることを示しているのだろうか。そうも言いきれないと思う。シークエント計算で考えてみよう。二重否定除去則はシークエントの右辺がマルチセットになることを認めれば導出できるので、二重否定除去則は右辺がマルチセットであることに相当すると言えよう。しかし、排中律の証明にはそれだけでは足りず、右の縮約規則を使う必要がある。

そういうわけで、私としては

  • 二重否定除去則+縮約規則=排中律+EFQ

あるいは、EFQが弱化規則に相当すると考えて

  • 二重否定除去則+縮約規則=排中律+弱化規則

という風に考えてみたい。

*1:cf. 前原『記号論理入門』

タブローとシークエント計算

タブローはシークエント計算の特殊例にすぎない、という話を昔聞いたことがある。一体どういうことだろう、と長いこと理解できないでいたのだが、最近になって、こういうことかな、と勝手に自己解決したのでちょっとメモしてみる。

古典論理のシークエント計算にも色々な流儀があるが、ここで考えたいのはG3cと呼ばれる証明体系である。

よくよく考えてみると、G3cの推論規則はタブローで枝を伸ばす規則と似ている。類似性に気づくためには、まず、シークエントに出現する式をすべて左側に寄せる必要がある。右辺から左辺に寄せるには、否定を付ければよい。任意の結合子〇について、A〇Bから枝を伸ばす規則は、〇の左規則を下から上に読むことに対応する。¬(A〇B)から枝を伸ばす規則は、〇の右規則を下から上に読むことに対応する。枝が閉じることは、シークエント計算の公理である同一律のシークエントに出現する式をすべて左辺に寄せたもの、つまり矛盾律に対応する。

二重否定文から枝を伸ばす規則に対応するのは…。うーん、古典論理だから二重否定除去は許される、ということでシークエントの右辺から左辺に動かすときに二重否定は取り払ってしまうことにしておこう…。

∀の左規則は結論だけでなく前提にも全称文が含まれるが、タブローでは全称文から枝を伸ばす場合には、この式にチェックを入れることは許されず、何度でも利用可能であることに対応しているのだろう。

対応関係はメタ的な性質にも及ぶ。タブローの証明は部分式性質subformula propertyを満たし、カットフリーのG3cも部分式性質を満たす。対応関係が崩れるとすれば、構造規則かな…。まぁでもG3は構造規則がadmissibleなので、なくても証明能力はまったく落ちないわけだ。

素人考えだが、この先も考えてみたくなる。例えば、様相論理Kのシークエント計算。これを上のようなやり方で左側だけのシークエント計算に翻訳すれば、prefixなしの様相論理タブローが得られそうだ。

様々な含意関係

哲学の文献では"entail"という用語がよく出てくる。意味合いとしては、AがBをentailするとは、Aならば必ずBといったところだろうか。それも、単なる必然性ではなく意味によって・概念的に必然的、といったニュアンスも含まれる。論理的帰結関係はentailの一種だろうけど、知識が信念を含意する、といったときにもentailと言う。

entailの定訳は何だろうか。「含意」とか「伴立」とか「随伴」といった訳語をしばしば見かける。「含意」が一番多そうだけど、implicationも含意と訳すので(実質含意material implicationなど)、この辺はちょっと厄介なところ。そして、implication以外にも似たような概念が言語哲学まわりでは沢山ある。

ちょっと整理してみよう。さまざまな含意関係の違いを調べるときに、後件を否定した場合の効果を調べるのが有効だと言われる*1。entailの場合にはBを否定するとAも否定される(対偶)。前提(presupposition)の場合、Bが偽ならAは真理値をもたない*2。慣習的含み(conventional implicature)の場合は前件に関して言葉遣いを誤ったと見なされる。会話の含み(conversational implicature)の場合には、聞き手に誤解させるような話し方をしたとみなされる。

おまけ。

AがBを「必然的に随伴するentail」とは、AがBを含意し、かつAの否定がBの否定を含意していること、である。むろん、このときAとBは、論理的には同値になる*3

こういうentailの用法(論理的同値と同値であるような用法)は聞いたことがない。「Aの否定がBの否定を含意」は「Bの否定がAの否定を含意」の間違いではないか。

*1:イカンの『言語哲学』p.280

*2:ただし、これは意味論的前提の場合。

*3:大澤真幸『意味と他者性』p.125n1

グライスの「意味」

言語哲学者グライスの有名な論文「意味」は1957年に出版されたが、初稿が書かれたのはその10年ほど前だという*1。たしかに、邦訳の『論理と会話』に付けられた飯田先生の「グライス紹介」にも「発表は1957年であるが、もとの草稿は1948年に書かれたという」とある(p.358)。

邦訳の目次には出版年の情報が付けられていないが、原著の目次には章ごとに出版年が細かく記されている。それを見ると、Meaningは(1948, 1957)と記されている。飯田先生が「1948年」と書いた典拠はおそらくこれだろう。

wikipedia, "Paul Grice" には

See discussion of this history in Russell Dale, The Theory of Meaning, Chapter 1, endnote 31, p. 34.

とある。この著作はウェブ上で読めるようなので調べて見たところ、次のように書いてあった*2

Stephen Schiffer, Richard Grandy, and Richard Warner have all told me in personal correspondence that Grice originally wrote the paper for a seminar that he and Strawson were to give in 1948, but was reluctant to publish it. Strawson had the article typed out and submitted it for publication without Grice's knowledge. Strawson only told Grice after the article was accepted for publication. Stephen Schiffer has told me that Grice himself told him this story and Richard Warner has written to me that he also heard this story from Grice. The only person I have been able to find who has noted the 1948 date is Fogelin in his review of Studies in the Way of Words: "'Meaning'...was first published in 1957, and apparently given as a lecture almost ten years earlier in 1948" (Fogelin (1991)). But that "Meaning" was given as a lecture does not seem to be noted anywhere in Studies in the Way of Words and Fogelin doesn't mention a source for the information he provides.

 

*1:柏端『コミュニケーションの哲学入門』p.71n1

*2:The Theory of Meaning by Russell Dale; Chapter 1 Notes