Skinerrian's blog

論理学・哲学・科学史・社会学などに興味があるので、その方面のことを書きます。更新は不定期。

科学を語るとはどういうことか

 最近読んだ本。

なかなかドギツイ表紙である。副題は「科学者、哲学者にモノ申す」。通俗的な哲学本で因果性について胡散くさいことが書いてあるのを見て驚いた物理学者の須藤先生が、いったい哲学はどういうことになってるんだ、という不信感をもって科学哲学者の伊勢田先生にいろいろ質問するという趣旨。

お互いの関心がなかなかかみ合わなくて、読んでいて隔靴掻痒の感があるが(話している当人たちはもっと痛感してるだろうけど)、読んでいて楽しい本である。当然ながら須藤先生は哲学のことをあまりご存じないわけだが、随所に鋭い突っ込みをしていて、非常にいい。個人的には、パラダイム転換にともなうクーンロスに関するコメント(2章p.57あたり)にしびれた。

科学実在論論争についての章もある(5章)。須藤先生は反実在論(ファン・フラーセンの構成的経験主義が念頭に置かれてる)の内容・眼目を理解するのに苦しむことになる。須藤先生の不満はこんな感じだろうか。量子論に関して、コペンハーゲン解釈をとるか多世界解釈をとるか、といった話題にはコミットしないという話であればまぁわかる(p.201)。でも、肉眼で観察不可能な事柄についてはコミットしないとか言われると「やれやれお話にならない、と判断してしまう」(p.222)。個人的には、ここは伊勢田先生にもう少し踏ん張ってほしかったところだが、もう十分すぎるほど頑張ってるような気もするので無いものねだりかもしれない。

なお、1章では哲学への不信つながりでソーカルとブリクモンの例の本に触れている。須藤先生はハッキリと

本来、比喩というのは、そのままではわからないことをより平易な例を用いて理解してもらうために用いるべきものです。内容がないからこそ、だれも理解できないだろう、とたかをくくって、めちゃくちゃな科学用語の乱用で煙に巻く。そんなことは決して許されるべきではありません。p.24

筆が滑った程度のことで済ませて良いようなレベルなのでしょうかねえ。p.25

と言っている*1。私も「まったくその通りだなぁ」と思うが*2、伊勢田先生は注意点として、例の本で批判されている人々は一枚岩ではなく科学社会学者とかも含まれてること、この本で批判されてる人々が哲学者の代表というわけではないことなどを指摘してる。まぁそれでも、

ラカンのように中心的な主張でわざとそういうことをやっている人はやっぱり別扱いになると思います p.36

と切り捨ててるのには草生える。

他にも、哲学業界における査読制度の説明とか、哲学者の中にもクリシン型だけではなく、思考触発型のようなタイプもいて、他で評価できるポイントもあれば完全に切り捨ててしまうのは惜しい、みたいなことも言われてる。この辺は、哲学業界をよく知らない人(かく言う私も)に有益な情報である。

inverted burial

One Piece』46巻にある一コマについて。

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以前このブログで、プラトンやらアリストテレスが人間を逆さになった植物とみなしていた、という話題を紹介したことがある。人間が口から栄養摂取するように、植物は根から栄養摂取するので、口と根が対応してるとか何とか。神崎繁先生によると、中世の絵画で逆さまに地面に埋められている人間が描かれてるのは、それの影響なんだとか*1。本当だろうか。というか、中世からこんな構図の絵があったりするの?

逆さまといえば、新約聖書外典の「ペテロ行伝」には、ペテロがローマで殉教したときに逆さ十字にかけられた、という話がある。しかし、なんで逆さ十字?イエスと同じポジションで殺されるのは恐れ多いと思ったとかいう説明をよく見かけるけど、ほんとかいな…。

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*1:『西洋哲学史I』(講談社メチエ)p.420

嘘つき(2)

ジェスパー・ホフマイヤー『生命記号論』から。

次の文は実際には何を意味しているのだろうか。「この文には三つもまつがいがある。」この文は正しいと言えるだろうか。実際には、間違いはただ一つ「まつがい」だけである。この文を正しく読めるものにするには、このように書き換えなければならない。「この文には一つのまちがいがある。」しかし、実は最初の文には三つの間違いがある。「三つ」は「一つ」、「まつがい」は「まちがい」でなければならないし、「も」は「の」あるいは「だけ」が正しい。それではこの文は結局のところ正しいことになるのだろうか。しかし、もとの文は正しいと言ったとたんに、それはやはり間違っていることになる。なぜなら、文が正しいのであれば、再び間違っているのは「まつがい」一つだけになってしまう。…

ここで私たちが直面しているのは、二十世紀の哲学において決定的な役割を演じた、独特なタイプのパラドックスである。このパラドックスは「嘘つきのパラドックス」として知られており…(邦訳p.71) 

「この文には三つもまつがいがある」の原文はThis sentence contains three rong words. 「この文には一つのまちがいがある」はThis sentence contains one wrong word. うまく訳したものだと思う*1

しかし、この文章は嘘つきのパラドクスの説明として受け入れてよいものなのだろうか。どうも納得できない。「まつがい」なんて単語は日本語にはないのだから、単に「この文は無意味だ」と言ってしまえば問題は片付くのではないか。曲がりなりにも有意味な語から構成されている「この文は偽である」と違って、「この文には三つもまつがいがある」を無意味とみなすことにコストはかからないと思う。

二値原理はすべての文字列が真か偽の真理値をもつことを要求しない。疑問文とか、前提が隠れている文などは真でも偽でもないとみなす余地がある。引用符ぬきで無意味な表現が出現する文字列ならなおさらそうだ。

仮に有意味な文だとしても、疑問点がもう一つ。

この文を正しく読めるものにするには、このように書き換えなければならない。「この文には一つのまちがいがある。」

ここも怪しい。「この文には三つのまちがいがある」と書き換えても正しく読めるようになるわけだから、「このように書き換えなければならない」とは言えないと思う…。

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*1:とはいえ、この翻訳がどのくらい信頼のおけるものなのかは留保しておく。「聖マタイの情熱」(p.77)という文字列を見たときはギョっとした。

対応理論

戸田山『論理学をつくる』は終盤で様相論理について簡潔な解説をしている。そこで「対応理論」という用語がでてくる(p.315)。様相論理の式とそれが妥当になるフレームの到達可能性関係の対応をあつかう理論、といったところだろうか。そこで著者が紹介しているのは、例えば

  • □P→□□P

という式(図式)が妥当になるフレームは推移的だとか

  • □P→P

が妥当になるフレームは反射的だとかそういったことである。

しかし、こういった事実を証明するのは難しくないので、これだけだと、対応理論にどんなありがたみがあるのかわかりづらいと思う。次のような例をみると、もう少しありがたみを感じられる。

  • hiA → □jkA

iというのは□をi個並べるということ。◊についても同様である。こういう一般的な図式に対して、それが妥当になるフレームの到達可能性関係を一般的な形で定式化できるとエレガントである。答えは

  • wRhvwRju ⇒ ∃x (vRixuRkx)

となる。そういう定理がレモンとスコットにより証明されている*1。ちょっとばかり確認してみよう。例えば、最初に提示した

  • □P→□□P

は、h = 0, i = 1, j = 2, k = 0の場合の特殊ケースとみなせる。これの到達可能性関係は

  • wR0vwR2u ⇒ ∃x (vR1xuR0x)

ただし、w, v, uには全称量化がかかっている。これはつまり

  • w = v & ∃y(wRy & yRu) ⇒ ∃x (vRxu = x)

ということであり、さらに簡略化すると

  • ∃y(wRy & yRu) ⇒ wRu

となる。これはRが推移的だと言っているので、正しい結果が得られたことになる。□P→Pについても同じことが言える。 

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ゲティア事例

1963年の論文で、エドマンド・ゲティアは知識の古典的定義に対する反例を提出したとされる。知識の古典的定義とは「知識=正当化をもつ真なる信念(justified true belief)」というもの。通称、JTB分析である。

以後、ゲティアの反例を回避するにはJTB分析にどのような修正を施せばいいのか、ということが問題になり(ゲティア問題)、さまざまな提案がなされた。それと同時に、ゲティア以前にも似たような思考実験による反例が提示されていたのではないか、ということも話題になった。よく挙げられるのはマイノングやラッセル。たぶん彼らは、JTB分析への反例を意図していたわけではなく、知識=真なる信念、という等式への批判を意図していたのだが、後から振り返ってみると、JTB分析への反例にもなっているのでは…、というのが実情だと思われる。例えば、邦訳のあるチザム『知識の理論』3版では、マイノングの反例として、風琴が庭に置いてある家の老人が、だんだん聴力が弱りたまに幻聴を経験するようになったという状況設定で、ある日、風琴の音が聞こえて風が吹いたと信じたケースが紹介されている。

しかし、もっと最近の認識論の入門書をみてみると、ゲティア事例はインド哲学においてずっと昔に提示されていた(770年頃のDharmottaraという人)、という驚くべき話も紹介されている*1。それどころか、ゴールドマンの知識の因果説みたいなものまで考案されていたとか(14世紀のGan.geśaという人らしい)。本当かどうか調べる術が私にはないけど、「〇〇を一番最初に考えたのは誰?」という疑問には簡単に答えが出せない、といういい例だと思う。

*1:Jennifer Nagel, Knowledge, OUP.

カリーのパラドクス

数理論理学をかじったことのある人は、自己言及がパラドクスを引き起こす可能性をもつことを知っている。例えば、ラッセルのパラドクスは、自分自身を含まない集合 {x | ¬x∈x} などという集合の存在を認めてしまうことから矛盾が生じる、というものだが、ここにも自己言及がある。

カリーのパラドクスも自己言及パラドクスの一種で、ラッセルのパラドクスとよく似ている*1。論理学では、否定命題¬Pを「P→⊥」という形で定義することがある。この定義を用いると、ラッセルのパラドクスは {x | x∈x → ⊥} という集合にまつわるパラドクスといえる。これに対し、カリーのパラドクスは {x | x∈x → A} という集合にまつわるパラドクスである。ここで、Aは任意の命題が入る。⊥も入りうるので、その場合にはラッセル集合である。この集合がパラドクスを引き起こすのは、{x | x∈x → A} という集合の存在を認めると、Aが証明されるからである。Aは任意の命題なので、任意の命題が同じ論法で証明できてしまうので、実質的には矛盾である。

実際に、Aを証明してみよう。問題の集合をXと名付け、X∈Xと仮定することからはじめてみる。X∈Xなので、Xの定義から、X∈X → Aである。X∈X → AとX∈Xから、modus ponensによりAである。X∈Xの仮定からAが導かれたので、X∈X→Aである*2。これで仮定が落ちた。さて、Xの定義とX∈X→Aから、X∈Xである。よって、modus ponensによりAである。

自己言及がこうしたパラドクスの元凶だとみなすならば、自己言及を何らかの仕方で禁じねばならない。一つのやり方は「x∈x」のような表現を文法違反だと主張すること(タイプ理論)。別のやり方は、{x | ¬x∈x} のような集合を作らせないため、包括原理などの集合に関する原理を捨てることである(公理的集合論)。

自己言及は集合に関してのみ生じるわけではない。嘘つき文「この文は真でない」はラッセルのパラドクスの真理述語バージョン、「この文が真ならば、A」はカリーのパラドクスの真理述語バージョンといえる。真理述語に関しては「Pが真であるのは、Pときそのときに限る」という基本的な原理がある。この原理を否定するのは厳しいので、一般的には、自己言及そのものを文法違反として退ける。

カリーのパラドクスは、ラッセルのパラドクスや嘘つきパラドクスと比べるとそれほど有名でないが、知っておく価値はある。数理論理学を勉強していると、このパラドクスは思わぬところで出没する。最近聞いた話だが、レープの定理の標準的な証明はカリーのパラドクスと似ている。レープの定理とは、PAのような算術理論で可証性述語Provを定義するとき、任意のφについて、Prov(φ) → φ がPAで証明できたとすると、PAでφも証明できるという定理。いったいどの辺でカリーのパラドクスがでてくるのか。私が理解した限りでは以下のような感じだと思われる。

レープの定理の標準的な証明は、Prov(x) → φという一項述語を作って、不動点定理により、ψ ≡ Prov(ψ) → φ という双条件が成り立つということから出発する。このψは「この文が証明できるならφ」と言っているように読めるので、カリーのパラドクスとよく似ている。もっとも、ここからφを証明するまでの手順はずっと複雑だけれども*3

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*1:カリーのパラドックス - Wikipedia

*2:厳密にいえば、X∈Xを二回仮定しているので、このように結論するには縮約規則(contraction)を使う必要がある。

*3:これとは別の証明法は、ゲーデルの第二不完全性定理から出発する(cf. フランセーン『ゲーデルの定理』p.140)。レープの定理と第二不完全性定理は同値といってよく、実際、標準的な証明でも可証性述語に関するヒルベルトとベルナイスの可導性条件を利用することになる。

論、主義、説

哲学において特定の立場や見解を表現するとき、大きく分けて、「〇〇論」という場合、「〇〇主義」という場合、「〇〇説」という場合の三種類があるように思う。具体例としてはこんな感じだろうか。

  • 〇〇論:唯名論、観念論、唯物論、二元論、独断論独我論、機械論、原子論、全体論、社会契約論
  • 〇〇主義:現在主義、三次元主義、可能主義、本質主義直観主義反証主義、行動主義、表象主義、選言主義、基礎づけ主義、功利主義、認知主義、内在主義、還元主義、全体主義マルクス主義
  • 〇〇説:想起説、永遠真理創造説、五分前創造説、対応説、トロープ説、束説、段階説、規則性説、意味の使用説、知識の因果説、志向説、思考の言語説、認知的閉鎖説

 「〇〇論」は特定の立場や見解というより、分野全体の名称としても使われる。「存在論」「認識論」「因果論」など。

あまり自覚したことはなかったが、「〇〇論」という用語は由来がだいぶ古そうだ。勝手な想像だけど、西洋哲学が輸入されはじめた19世紀後半から20世紀初頭に造られた言葉、といった印象だ。英語で "-ism" という語尾の表現は、最近だと「〇〇主義」となることが多いように思う。まぁ「功利主義」や「マルクス主義」は他の用例よりも古そうだけど。"view" ないし "theory" は「説」と訳すのかな。「理論」と訳す場合もあるだろうけど。

上のリストは思いつくままに並べただけなので、反例にみまわれる可能性が高い。例えば、確率の frequentism は「頻度説」と訳すことが多いように思う。

定訳がない場合もある。自由論の "compatibilism" は「両立論」「両立主義」「両立説」のどれも見かける。"-ism" は「主義」と訳すのが最近の傾向、という仮説でいくなら、「両立主義」が正しい、と言えるだろうか。"skepticism" についてはどうだろう…。

"empiricism" は「経験論」と「経験主義」のどちらも見かけるが、これらは微妙に使い分けられている気がする。ロックなどイギリスの哲学者のおおまかな考え方のようなものを「イギリス経験論」とか言ったりするのかな。

全体論holism」と「全体主義totalitarianism」は原語が違うので、訳しわけ使い分けるべきなのだろう。まれに混同する人がいるけど*1

…などということを、つらつら考えていたら、次のようなページを見つけた。 

科学哲学者たちが「進化論」という用語を使うことに違和感がある.何故遺伝や生態についての研究分野は「遺伝論」とか「生態論」とよばないのにもかかわらず,進化にだけは「進化論」という用語を使うのだろうか.「○○論」には一般的な語感として,証拠もなしに自由に論じていいものだという含みがあるのではないだろうか.きちんと「進化生物学」,せめて「進化理論」という用語を使うようにして欲しいものだ*2

コメント欄もこの話題で盛り上がっている。進化生物学者が「進化論」という用語を嫌っているという話は全然知らなかったので、これはちょっとした驚きだった。ただし、科学における用法は上の考察の範囲外なので、ここではコメントを控える。

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