Skinerrian's blog

論理学・哲学・科学史・社会学などに興味があるので、その方面のことを書きます。更新は不定期。

排中律の反例

排中律についてのメモ。

直観主義論理では排中律(P v not-P)が成り立たないと言われる。しかし、これは排中律の否定が成り立つということではない。排中律の否定を仮定すると直観主義論理の範囲でも矛盾が導かれるので、排中律の二重否定が成立する。

そういうわけで、排中律が成り立たないからといって、それを端的に否定することはできない。一般によく言及されるのは排中律への「弱い反例」というものだ。例えば、「aのb乗が有理数となるような、無理数a, bは存在するか」という問題を解こうとして、√2の√2乗は有理数有理数でないかのどちらかである、という形で排中律が使われることがある。しかし、直観主義者にとっては選言文を主張できるのは、どちらか一方の選言肢を証明したときに限られるので、仮定ではなしにこの選言を主張することは許されない。とはいえ、このことは「√2の√2乗は有理数有理数でないかのどちらかである」の否定を主張するのとは違う。だから「弱い」反例。

量化が言語に含まれる場合、事情はもう少しややこしくなるようだ。古典論理では

  • ∀x(Fx v not-Fx)

が成り立つ。QLEMとでも呼んでおこう。先ほどの命題論理からの類推でいけば、直観主義でも、QLEMの二重否定

  • not-not-∀x(Fx v not-Fx)

は成り立ちそうに思える。しかし、どうもそうではないらしい。一階論理では、 not-∀x(Fx v not-Fx) という主張が成り立つ余地があるらしい。直観主義数学、例えば実数論では、実際にそういう例があるようだ。もちろん一階論理は命題論理を包摂しているので、not-(P v not-P) などと主張するのが不合理であるのは変わらないのだが。

排中律の否定が矛盾であるにも関わらず、モデルによってはQLEMの否定が成り立つということがどうして起きるのか、以前は理解できなかった。今思うと、いくつかの混乱があった気がしている。情けない話だが、戒めとして記しておく。

直観主義では二重否定除去(not-not-P ⇒ P)が成り立たないが、二重否定導入(P ⇒ not-not-P)は成り立つ。でも当たり前だが、二重否定導入が成り立つこととnot-not-Pが成り立つことは別である。Pが成り立たなければnot-not-Pを結論づけることなどできない。

でも、古典論理直観主義論理に埋め込めるという話もある。雑にいえば、ある式が古典論理トートロジーなら、それの二重否定が直観主義論理でトートロジーとされる、のではないのか(二重否定翻訳)。たしかに、それはそう。でもそのことから、QLEMが古典論理の妥当式ならQLEMの二重否定が直観主義論理の妥当式であるはずだ、というのは飛躍がある。二重否定翻訳が成り立つのは命題論理の範囲に限られており、一階論理では成り立たない、とすればどうか。そのときには、直観主義論理では排中律の否定は矛盾だが、QLEMの否定は成り立ちうる、と言っても問題は生じない。

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確証バイアス

ウェイソンの選択課題とか確証バイアスについて、少しばかり調べものをした。ウェイソンの選択課題については

サーベイが(割と専門的なので理解が及ばなかったところもあったが)参考になった。サーベイ対象が96年までと限定されているけど、これ以後のサーベイもあるのかな。

確証バイアスについては、英語版wikipediaの"confirmation bias"が日本語版よりだいぶ充実しててよかった。「確証バイアス」という名称はウェイソンに由来するそうだが、似たような考え方は昔からあったということで、いろいろな古典が紹介されてる。一例として、フランシス・ベーコンの『ノヴム・オルガヌム』から引用してみる *1

人間の知性は(あるいは迎えられ信じられているという理由で、あるいは気に入ったからという理由で)一旦こうと認めたことには、これを支持しこれと合致するように、ほかの一切のことを引き寄せるものである。そしてたとい反証として働く事例の力や数がよりだいであっても、かの最初の理解にその権威が犯されずにいるためには、大きな悪意ある予断をあえてして、それらをばあるいは観察しないか、あるいは軽視するか、あるいはまた何か区別をたてて遠ざけ、かつ退けるかするのである。・・・占星術、夢占い、予言、神の賞罰その他におけるごとき、すべての迷信のやり方は同じ流儀なのであり、これらにおいてこの種の虚妄に魅せられた人々は、それらが満たされる場合の出来事には注目するが、しかし裏切る場合には、いかに頻度が大であろうとも、無視し看過するのである。 

*1:岩波文庫pp.87-88

エディプスコンプレックスの教義

岩波の『フロイト全集』に付いている月報20から。白井聡「いまフロイトを読むこと」

フロイトを今日あらためて読み直し、評価する際に、エディプスコンプレックスの教義をどのように取り扱うべきかという問題は、やはり避けて通ることのできない・・・この教義に対してこれまで数多くの強力な批判が投げかけられたことを思い返してみると、ここに現出するのはいささか厄介な事態であるかもしれない。 

エディプスコンプレックスの教義に対する「数多くの強力な批判」として白井は次のように書いている。 

フェミニストたちは、この教義にフロイトにおける男性中心主義・家父長制イデオロギーの抜きがたい限界を見て取った。あるいは、ドゥルーズ=ガタリは、本来無定形なはずの欲望がつねに「パパ・ママ・僕」の三角関係に封じ込められており、それは歴史上特殊な形態としてのブルジョア家族における欲望の関係を不当にも超歴史的に拡大している、という批判を加えた。

これらの批判は強力なものである。

これらの批判が強力なのかどうか私には判断できないが、この箇所を一読したとき「心理学や人類学からの批判になぜ触れないのだろう」という感想をもった。実は、次のページにこう書かれている。

フロイトがエディプスコンプレックスの教義を最も大胆に展開し、それゆえにこの教義の思想的本質が最も明瞭に表現されている作品は、『トーテムとタブー』(1913年)である。今日この著作に対する学術的評価がいかなるものであるのか著者には不明であるが、人類学や宗教学の分野においてそれが高かろうはずがないことは、容易に想像がつく。

エディプスコンプレックスの教義が展開されているのが『トーテムとタブー』という著作であり、人類学や宗教学で『トーテムとタブー』の評価が高くないと容易に想像できるなら、人類学や宗教学においてエディプスコンプレックスの教義も批判されていないかどうか、批判されてるとしたらどんな理由で批判されてるのかをなぜ調べようとしないのだろうか。「著者には不明であるが」と言っている場合でないように思うが、フェミニズムドゥルーズ=ガタリからの批判があるから批判はもう十分ということなのかもしれない。

白井のことは措くとして、私自身は今のところ次のように理解している。『トーテムとタブー』でフロイトは、エディプスコンプレックスの歴史的起源として原父殺しという出来事を措定した。しかし、原父殺しなどという出来事を措定する証拠としてフロイトが考えていた事柄は、原始乱婚制とか類別的な親族名称は原始的であるといった、今日の人類学や考古学では疑問視されている見解である。たしかに、これらの見解は当時としては広く普及していた見解なので、これをもってフロイトを責めることはできない。でも、今となっては時代遅れで偽の証拠に基づいているなら、原父殺しは胡散臭い。そして、原父殺しの出来事がなかったのなら、エディプスコンプレックスの歴史的説明にも失敗したことになる。

エディプスコンプレックスの歴史的説明の妥当性は別として、そもそもそんな心理現象が存在するのか、という点も疑いうる。幼児性欲は無意識と仮定されているので確証も反証も難しいが、ウェスターマーク効果と幼児性欲の仮説は相性が悪いし、フロイト(やフレイザー)によるウェスターマーク効果への懐疑論には反論ができる。インセストの有害性と、ウェスターマーク効果がインセストを避けるための巧妙な至近メカニズムとして現在では割と受け入れられていることを考慮すると、エディプスコンプレックスの存在を信じる積極的な理由は薄い。

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バーナム効果

ドラマ 「ビッグバンセオリー」から。星占いの好きなペニーに対して、シェルドンが冷や水をぶっかけるシーン。

Sheldon: For the record, that psychotic rant was a concise summation of the research of Bertram Forer, who in 1948 proved conclusively through meticulously designed experiments, that astrology is nothing but pseudo scientific hokum.*1 

ここでシェルドンが挙げているのは、俗にいう「バーナム効果」のこと。人々は一般的で漠然とした性格記述を自分に当てはまっていると考えやすい傾向にある。フォーラーの実験はバーナム効果を示した最初の実験だとか言われてる。39名の学生に性格検査をやって、一週間後にそれぞれの学生に結果を返したのだが、その結果というのは実は占星術の本からとった13の叙述からなる同じ性格プロファイルだった。殆どの学生が、それは自分に当てはまると答えた。

ところで、シェルドンが言うのとは少し違って、伊勢田哲治疑似科学と科学の哲学』には、バーナム効果占星術を完全に否定するわけではないだろうが、不利な証拠なのは間違いない、と書かれている(p.72)。なぜ「完全に否定するわけではない」のだろうか…?

とりあえず次のような可能性を考えた。バーナム効果は、本当は自分には当てはまらないはずの記述を当てはまっていると誤解してしまう、という可能性と両立する。ということは、悪いのは占星術そのものではなく、自分自身の性格についてわれわれが適切な理解(自己知)を欠いていることだ、という可能性もある。そうだとすると、バーナム効果占星術を完全に否定するわけではない。

といっても、占星術が完全に免責されるわけでもない。受け入れてよいのかどうか判定できない漠然とした予測しか導けない理論なんて使い物にならないだろうからだ。だから、バーナム効果は、占星術が生き延びてきたのは結局のところ人々が進んでそれを受け入れているからではないか?という疑念を呼ぶ。まぁ実際そうなんだろうね。

産業革命の起源

山形浩生のブログ「経済のトリセツ」で、彼のamazonレビューがまとめて掲載されていたので、軽く読みふけってしまった。その中で、グレゴリー・クラーク『10万年の世界経済史』のレビューに追記がなされているのに気付いた*1。以前の彼のレビューはかなり本書に対して否定的で、

肝心の産業革命については、ずいぶん分析も薄いうえ、出てきた答えは実は何ら目新しくない。そして最後は「わからん」という

とバッサリ切り捨てていた。しかし、今回の追記だと、

2017年のいまにして思えば、このレビューは本当に読みが浅かった。この本は最終的に、産業革命はほぼ遺伝要因である、と主張する本。生産性があがったのも、生産性の高い階級が子だくさんだったから、という。

と書かれている。こちらの新しい感想は私自身の読後感とも一致しているので、一安心したところだ。実際、この本の冒頭1章を読むだけでも、そういうアイデアがほのめかされていると思うし。クラークによれば、産業革命はイギリスで生じた真の理由は、社会の安定性と人口動態(人口が伸びず、富裕層の出生率が高い)という偶然的な要素である(p.29)。1800年までのイギリスでは、経済的な成功が生殖の成功とつよく結びついていた。極貧の子供は生き延びられず、その家系は途絶えた。つまり、イギリスではつねに人口の下方移動が生じた。富裕層の多数の子供は社会階層を下りることで職にありついた。富裕層にみられる忍耐・勤勉・創意工夫・想像力・教養といった特質(中産階級的な価値観)がこうして社会全体に広まっていった(p.25)。

中国や日本でも中産階級的な価値観が重んじられた。にも拘らず、中国や日本が英国と同じ速さで発展しなかったのは、上流階級の出生率が、一般大衆の水準を若干上回る程度にすぎなかったから(p.30)。

極めつけは1章の最後。現代人は経済的成功を収めるために尋常でない努力をしてマルサス的経済の均衡をうちやぶった人々の子孫である。現代人が幸福になれないのは現状に満足していては敗れ去ってしまうという事実の反映でもある(p.39)。

シェルドンに学ぶ反心理主義

理論物理学者を専攻する「ビッグバンセオリー」の主人公シェルドンには、ほかの分野を卑下することがよくある。ルームメイトのレナード(実験物理学者)に対しても辛らつだが、特に人文系に対する毒はすさまじい。

Penny: ... has he [= Leonard] ever been involved with someone who wasn’t a brainiac?

Sheldon: Oh. Well, a few years ago he did go out with a woman who had a PhD in French Literature.

Penny: How is that not a brainiac?

Sheldon: Well, for one thing, she was French. For another, it was literature.*1

たいていの場合は、このように正当化なしに一方的に卑下するだけだが、そうでないときもある。神経生物学を専攻するエイミーとのやり取りなんかがよい例となる。

Sheldon: Excuse me, but a grand unified theory, insofar as it explains everything, will ipso facto explain neurobiology.

Amy: Yes, but if I’m successful, I will be able to map and reproduce your thought processes in deriving a grand unified theory, and therefore, subsume your conclusions under my paradigm.

Sheldon: That’s the rankest psychologism, and was conclusively revealed as hogwash by Gottlob Frege in the 1890s!*2

シェルドンは一種の還元主義者で、物理学の大統一理論ができれば神経生物学もそこに還元されるはずだと予想している。エイミーは、統一理論を作っている科学者の思考をトレースしているのが自分たち神経生物学者なのだから、自分たちのほうが偉いと思っている。これに対して、シェルドンはそんなのは1890年代にフレーゲが論駁した心理主義そのものだ、と言う。哲学を勉強してきた人間として、ここはちょっと興味を惹かれるところだが、シェルドンは一体何を言っているのだろうか…。

まず、1890年代のフレーゲの著作がどれを意図してるのだろうか。『算術の基礎』なら1880年代だし、論文「思想」なら晩年の1910年代だから合致しない…。あと、フレーゲは論理学や算術が思考の法則を研究するわけじゃないということは言うけれども、物理学の話はしていないだろうから、ここでシェルドンがフレーゲを持ち出した理由はあまりはっきりしない。

心理主義を批判した有名人は、フレーゲのほかにもフッサールがいる。フッサールなら次のように言うかもしれない。学はあらゆる学の基礎であり、論理学のもつ規範性を心理学は説明できないから、心理学が論理学の基礎になることはありえない。そして、論理学はあらゆる学の基礎であるから、物理学の基礎でもある。よって、心理学が物理学の基礎となることもありえない…。

これは一応筋が通ってると思う。でも、この筋でいくと、物理学が一番エライことにならないから、シェルドンにとってはやや都合が悪い気もする。

*1:Series 02 Episode 01 – The Bad Fish Paradigm | Big Bang Theory Transcripts どうでもいいけど、すごく頭がいいという意味のbrainiacの綴りがbraniacになってたので修正した。

*2:Series 04 Episode 03 – The Zazzy Substitution | Big Bang Theory Transcripts

反事実条件法と歴史

最近、アメリカのドラマ『ビッグバンセオリー』を見ている。知らない人のために、wikipediaから「あらすじ」を引用しておく。

2人合わせたIQが360という二十代の仲良しオタクコンビ、レナードとシェルドンはカリフォルニア工科大学の物理学者。カリフォルニア州パサデナにあるアパートで同じ部屋に住むルームメイト同士でもある。2人揃って頭脳は明晰で、博士号を得るほど賢いが、どうも世間からズレていて友人もみんな変わり者。しかもルックスがイマイチなので女性にモテる気配もない。そんな2人の部屋の向かいにある日、キュートなブロンドの独身美女が引っ越してきたことから始まるコメディ・ドラマ。

シェルドンの発言には教えられる(?)ところが多いので、しばらくこのお店でもシェルドンの発言を切り口にして記事を書いてみようかと思った。とりあえず最初のネタは、科学と関係ない話題から。[注:エイミーはシェルドンの彼女的ななにか]

Sheldon: All right, I’m ready for my next question.

Amy: In a world where rhinoceroses are domesticated pets, who wins the Second World War?

Sheldon: Uganda.

Amy: Defend.

Sheldon: Kenya rises to power on the export of rhinoceroses. A Central African power block is formed, colonizing North Africa and Europe. When war breaks out, no one can afford the luxury of a rhino. Kenya withers, Uganda triumphs.

Amy: Correct. My turn.

Leonard: What the hell are you guys playing?

Sheldon: It’s a game we invented. It’s called Counterfactuals.

Amy: We postulate an alternate world that differs from ours in one key aspect and then pose questions to each other.

Sheldon: It’s fun for ages eight to eighty. Join us.*1

「サイが家畜になっているような世界では、どの国が第二次世界大戦の勝者だっただろうか?」という反事実的な問題に対して、シェルドンは奇妙な理屈で「ウガンダ」という答えを正当化する。あまりに突拍子もないので、そこが笑えるわけだが。

歴史にifを問うことは意味をなさないとか、少なくとも実証的な歴史学にはふさわしくない、といった忠告をよく耳にする*2。反事実的な問題を好き勝手に立ててしまうと、客観的な答えを与えようのない問題が増殖してしまう、といった懸念があることは、上のようなやり取りを見るだけでも理解できる。

しかし、個人的には、歴史学はifの問いを扱わないといった紋切り型の忠告には昔からいまいち納得できないでいる。例えば、実証的と称する歴史学者も因果性を語ることはあるのではないか。こういう出来事が原因となってそういう出来事が起きました、みたいな。もしそうなら、因果言明と反事実的条件法の間には繋がりがありそうなので、因果言明だけ認めて、反事実的条件法を全面的に拒絶するのは辻褄があわない、というのが私の印象である。どんな繋がりがあるかといえば、まず考えられるのは

  • 出来事cが出来事eを引き起こす ⇔ cが起こらなかったら、eは起こらなかったであろう

といった定式化である*3。これには色々な反例があるのだが、それでも右→左方向の含意関係が成り立つという主張はけっこう手堅いのではないか、と思われる。そういうわけなので、ifを問うな、と言い切るのはよくなくて、慎重になれ、という程度で済ませるべきではないか、と思う。

*1:Series 04 Episode 03 – The Zazzy Substitution | Big Bang Theory Transcripts

*2:歴史に「もし」を問うのは未練がましく思っている人の寝言のたわごとだという意見が、E.H.カーの『歴史とは何か』邦訳pp.141-144にある。

*3:古くはヒュームにさかのぼる定式化。