Skinerrian's blog

論理学・哲学・科学史・社会学などに興味があるので、その方面のことを書きます。更新は不定期。

モンテホール問題

モンテホール問題に関して、最近考えたこと。モンテがドアを開けた後で選択肢を変更したほうが正答の確率が上がるというのはパラドキシカルだと感じてしまうのは、モンテが確実にハズレのドアを開けるという点をきちんと考慮できていないから、だと思われる。

比較のために、次のようなケースを考えよう。私が3番目のドアを選びつつ、まだドアは開けないでおく。次に、別の人(どのドアが当たりかは知らない)が2番目のドアを選び、ドアを開けたところハズレだったとする。このとき、私は3番目のドアから1番目のドアに選択を変えるべきだろうか。いや、そんなことはない。どちらが当たる確率も等しいからだ。

このことをもう少し形式的に示してみよう。Aiを「i番目のドアが当たりである」、Biを「モンテがi番目のドアを開ける」という命題とする。なお、私は3番目のドアを選んだと仮定する。このとき、確率の付値は次のようになる。

  • Pr(A1) = Pr(A2) = Pr(A3) = 1/3
  • Pr(B1 | A1) = Pr(B2 | A2) = 0
  • Pr(B1 | A2) = Pr(B2 | A1) = 1
  • Pr(B1 | A3) = Pr(B2 | A3) = 1/2

ポイントとなるのは、2行目と3行目の付値である。1番目のドアが当たりのとき、モンテは絶対に1番目のドアを開けないで、2番目のドアを開ける。この事実こそが、例えば、モンテが2番目のドアを開けたときに1番目のドアが当たりである確率、つまり、Pr(A1 | B2) を計算するときに効いてくる。ベイズの定理を使って計算すると 2/3 となる。

先ほど比較のために挙げたケースでの確率の付値はこれとはまったく異なる。Biを「別の人がi番目のドアを開ける」と解釈すると、2行目と3行目の値はどちらも1/2となるからだ。この場合、選択肢を変えねばならない理由はない。

完全なものから一部を取り除いたら不完全

「その、「二重否定除去則」を認めないと、古典論理で証明された定理の中で直観主義論理では証明できないものが出てくるんでしょう?」

「出てくるね、排中律とか、ド・モルガンの法則の一部とか」

「どうしてそんな不完全なものが許されるわけ?」

「いや、直観主義命題論理の完全性は証明できるらしいよ」

「だって、古典命題論理の完全性も証明されているんでしょ?」

「うん」

「それで、直観主義論理は古典論理の一部なんでしょう?」

「そうさ」

アリスはそこで勝ち誇ったように、言った。

「完全なものから一部を取り除いたら不完全になるのよ。知らなくって?」*1

この練習問題はよくできている。巻末の模範解答によれば

「完全」ということは意味論に相対的だからね。古典論理の意味論に従えは、もちろん直観主義の公理系LIPは不完全になる。だけど、直観主義直観主義の意味論を提出するわけだ。そして、その意味論のもとでは、公理系LIPも完全になることが示されているんだ。(逆に、直観主義の意味論からすれば、古典命題論理の公理系LPは論理的真理でないものまで含んだ不健全なものとなる)

ということは、例えば、「一階論理なら完全性を証明できるけど、二階論理では無理」といった言い方には注意しないといけない。二階論理(命題論理だろうと述語論理だろうと)について、標準的な意味論を採用した場合には不完全だが、非標準的な意味論(ヘンキンの意味論など)を採用すれば完全性がいえる。どの意味論と相対的に完全/不完全なのかについて自覚的でないといけない。

*1:野矢『論理学』p.184

王水

王水(aqua regia)は金をも溶かす強酸として知られる。では、王水はどのようにして発見されたのだろうか。wikipediaの「王水」によれば

西暦800年前後、イスラム科学者のアブ・ムサ・ジャービル・イブン=ハイヤーンにより、まず食塩と硫酸から塩酸ができることが発見され、それを濃硝酸と混合することで開発された。

たしかに、王水は濃硝酸と濃塩酸を1:3の体積比で混合して得られる。しかし、王水の発見者も同じような製法で王水を作ったのだろうか?これはちょっと疑わしい。塩酸の製法が見つかったのはもっと後だと言われるからだ。かなり古い本だが、ダンネマンの『大自然科学史』によると、中世のアラビア科学では塩酸がまだ知られていなかった*1。15世紀のバシリウス・バレンティヌスという修道士、あるいは、16世紀のリバビウスという人が初めて合成したのではないか。

では、イブン=ハイヤーン(ゲーベル)は塩酸ぬきでどうやって王水を作ったのか。実は、塩化ナトリウムに濃硝酸を加えても王水はできる。高校の授業(?)で、この方法で王水を作らせた先生もいるみたいだ。歴史的な発見の順序にも沿っており、素晴らしい指導なのではないかという気がする。

 

*1:大自然科学史』3巻p.130

ヒルベルトスタイル

現在、論理学での「証明」のやり方としてしばしば採用されるものとしては、「タブロー」の他に、ゲンツェンが考案した「自然演繹」と呼ばれる方法がある。そして自然演繹の方法は、かつての「公理的方法」などに比べれば、はるかに習得が容易であるしー公理的方法では、簡単な論理式を証明するのも、ほとんど「職人芸」であった!ーまた、「論理語の意味とは何か」といった問題や、通常の体型とは異なる論理体系を考えたりする上では、極めて有用なものである*1

ヒルベルトスタイルの証明は確かにどうしようもなく不便だが、「職人芸」というほどだろうか…などと思っていた時期が私にもあった。コンビネータでいうK, Sに対応する公理型があれば、演繹定理をわりあい容易に証明できるため、仮定による証明ができてしまう。だから、コツを掴めばそれほど難しくない、などとナメていたのだ。

しかし、公理系によっては、上の引用にもあるように、簡単な論理式を証明するのもほとんど職人芸になってしまう。例えば、カルナップ「論理学と数学の基礎」にある公理系を見てみよう*2

  • wenn ... so [wenn nicht ..., so ---]
  • wenn [wenn nicht ..., so ...], so ...
  • wenn [wenn ..., so ---], so [wenn [wenn ---, so .-.-], so [wenn ..., so .-.-]]

ドイツ語で書かれているので、もう少し分かりやすい記号で表すと

  • p → (not-p → q)
  • (not-p → p) → p
  • (p → q) → [(q → r) → (p → r)]

のようになると思う。なお、推論規則はmodus ponensのみである。この公理系の嫌なところは、条件文のみのトートロジー(例えば、K)を証明するにも否定のついた公理を使わなければならないところにある。証明はうんざりするほどトリッキーなものとなる。

あるいは、戸田山和久『論理学をつくる』で紹介されている、一つしか公理をもたないメレディスの公理系:

  • ( ( (A → B) → (¬C → ¬D) ) → C → E) → ( (E → A) → (D → A) )

この公理系の証明も、(試してはいないが)ものすごくトリッキーなものとなるだろう。

*1:丹治『タブローの方法による論理学入門』p. i-ii

*2:カルナップ『論理学の形式化』所収, p. 189あたり。List of Hilbert systems - Wikipediaによると、ウカシェーヴィチに由来する公理系のようだ。

野本『現代の論理的意味論』

先日、フリーマーケットで野本和幸『現代の論理的意味論』を¥100で購入した。大庭健『はじめての分析哲学』とか飯田隆言語哲学大全』3巻の読書案内で紹介されていたのでだいぶ以前から気になっていた本だが、なかなか手に入らなかった。図書館で少し眺めたことがあるが、辞書のような本なので手元にあるといいなぁと前から思っていた。これほどの低価格で手に入ったのは収穫だった。

目次を見て、興味の湧いた箇所をいくつか拾い読みした。辞書のようで通読するには向いていないけど、辞書といえばそもそもSEPのない時代にこれほど情報量の多い本が出ていたというのは凄いことだと思った。今現在でも読む価値はあるのでは。確かに『言語哲学大全』でこの本の多くの話題はカバーされているが、初期のカプランの仕事なんかはこの本くらいでしか近づけないのではなかろうか。

なお、カルナップの様相論理を紹介しているところで個人的に引っかかるところがあったのでメモしておく。まず、次の箇所(p.196)

次のような言表様相と事象様相との相互連携が含まれる文脈では、変項の付値の中立性(外延的文脈では外延を、内包的文脈では内包を付値する)というカルナップの方策は、依然として困難を含むであろう。

(*)∃x(x = the number of planets and nec(x = the number of planets))

この箇所は、少し前の記述と整合しないように思う。

『意味と必然性』の様相論理の対象言語においては、変項はもっぱら内包をその値にとる、つまり個体変項は個体概念を、述語変項は特性を、文変項は命題を変域とするという見解が新しく採られている。p.192

思うに、後者の方がたぶん正しい。つまり、necの中か外かによってxの値が変わるということはない。

では、(*) はどうやって解釈されるのか。この本の意味論では、文は可能世界と変項へのアサインメントと相対的に真理値をとる。(*) によれば、ある世界wとアサインメントaのもとで、なんらかの個体概念が x = the number of planets and nec(x = the number of planets) を満たす。a(x) の値を惑星の数-概念としよう。惑星の数-概念にwを食わせた値は、もちろん惑星の数-概念にwを食わせた値と等しい。よって、x = the number of planetsはw, aのもとで成り立つ。また、任意の世界w'で同じことが言えるから、nec(x = the number of planets) もw, aのもとで成り立つ。だから、正しい文なんじゃないかな。

 

 

 

フロイト『続・精神分析入門講義』

言語哲学大全』で推薦されている論理学の入門書、Wilfrid Hodges, Logic で、演繹的に妥当な推論の例として、次のような文章が紹介されている。

Criticisms which stem from some psychological need of those making them don't deserve a rational answer. When people complain that psychoanalysis makes wild and arbitrary assertions about infantile sexuality, this criticism stems from certain psychological needs of these people. Therefore the criticism that psychoanalysis makes wild and arbitrary assertions about infantile sexuality doesn't deserve a rational answer.

著者によれば、この文章は『続・精神分析入門講義』講義34からの引用だそうだ。気になったので、図書館で岩波の『フロイト全集』21巻を調べてみたが、見つからなかった…。見落としだろうか。しかし、本当にフロイトがこんなにすっきりした論証をしているのか、やや疑問ではある。この文章をグーグル検索にかけたが、Hodgesの本から孫引きしてるものもあったし。

代わりに、ちょっと面白い箇所を見つけた。

申し上げたいのは、私は、私たちの治療成果がルルドのそれに匹敵するなどとは思っていないということです。聖母の奇跡を信じている人の方が、無意識なものの存在を信じている人よりもはるかに多いのです*1

精神分析ルルドの泉ほどの効き目もない、とフロイト自身が認めている箇所として有名だが*2、実際に原典でチェックしたのは初めてだ。

この講義34というのは「釈明・応用・治療姿勢」というタイトルがついていて、これまで精神分析にぶつけられてきた批判に応答する、という形になっている。統計なんて意味ない、患者からはたくさんの礼状がきてる、精神分析プラシーボ効果を超えないが他の治療法よりはマシ、とかいってる。とりあえず、プラシーボを超えないなら疑似科学と区別つかないのでは、と思った。

*1:フロイト全集』21巻p.164f

*2:cf. デーゲン『フロイト先生のウソ』p.46

『日本人のための宗教原論』

この手の本は、宗教に関する日本人の誤解を正す、といった体裁をとることがよくあるが、読むたびに「本当にこれでいいのか?」と思うことが少なくない。この本の場合、イスラム教は別にしても、キリスト教と仏教には天国・地獄なんてものはない、と断言してる(p.60-)。

ダンテ『神曲』には地獄・煉獄・天国が出てくるではないか、などというなかれ。あれは文学作品であり、ダンテのイマジネーションにすぎない。キリスト教は地獄・天国など説いてはいない(p.60)。

これはたしかに、一抹の真理を含んでいるのだろう。聖書の中に天国・地獄の描写はほとんどなく、天国・地獄についての具体的なイメージを与えてくれるのはむしろ『神曲』などの中世文学、というのは多分そう。でも、キリスト教のほとんどの宗派は天国・地獄を認めてるようだし…。特にカトリックは聖書のいろいろな記述を解釈して、天国・煉獄・地獄の存在を証拠立ててる。私は非キリスト教徒で、聖書が聖霊の助けを借りて書かれた神聖なテキストだとは思ってないが、宗教社会学の本ならそういう実情を無視して上のように断言してしまうのはいかがなものかと思う(日本人だけの「誤解」じゃないのでは?という意味で)。

小室は、日本人のキリシタンバテレンは壮烈極まりない殉教で世界の人々を感嘆させたがキリスト教の教義の理解が十分であったならば容易に隠したままで押し通せたはずだ、踏み絵に使う板なんぞ、何が描いてあると被造物に過ぎない、偶像崇拝は厳禁されているではないか、とも言ってる(p.118)*1。これはありうる立場だとは思うが、仮にそうだとしても、上と同様に「日本人だけの無理解」ではないと思う。例えば、マーティン・スコセッシの映画『沈黙』で、ヨーロッパ人の宣教師は踏み絵を踏むことに否定的であり、拷問(を見せつけられた)後に実際に踏むことになるが、イエスの像の上には土埃がついていない演出になっている。

ところで、宗教とは関係ないが、以下の記述は論理学を多少かじった人間として見過ごせなかった。

世界最初の完全理論(complete theory)として長く学問の手本となったユークリッドの「幾何学原論」は、アリストテレス形式論理学のみを用いて公理から諸定理を導きだしている。形式論理学記号論理学(symbolic logic 集合論的論理学)によって克服されたのは、ドイツの数学者ヒルベルトによってである。(p.240, 強調は著者)

 対応する英語表現を記しているくらいだから「完全理論」はテクニカルタームだと判断したくなるが、ユークリッドの『原論』は完全理論なのだろうか。理論Tが完全であるとは、任意の文sについてs∈Tかs∈Tでないかのどちらかが成り立つ、ということ。形式化されてない理論について完全とか完全でないとか言えるのかどうか疑わしいし、『原論』1巻の命題1(正三角形の作図可能性)は連続性公理ぬきには厳密に正しい証明ではない、とか言われる。

『原論』の証明がアリストテレス論理学だけを使っているというのも疑わしい。ユークリッドアリストテレスより後の人だろうけど、『分析論後書』を参照してるわけではないし、『原論』の証明を普通に読むと、あれを三段論法で全部書き直せるというのは割と信じがたい。

形式論理学記号論理学によって克服されたという言い回しも聞きなれない。著者は伝統論理と現代論理という対比という意味で使ってるんだろうけど、形式論理学記号論理学は同義的に使うことが多いように思う。現代論理の創始者ヒルベルトというのもひっかかる。この分野でのヒルベルトの仕事は重要だろうけど、普通はフレーゲを挙げるのではないかと思う。そして、「集合論的論理学」については p.35 で次のように述べられてる。

集合論理とは、aという要素が、Aという集合に属するか属さないかという論理であり、どちらか一方だけが成り立つ構造である。属すると同時に属さないということもないし、属するのでも属さないでもないということもない。この集合論的性格が、形式論理学にも集合論的論理学にも同じようにある。

これは単に矛盾律排中律を述べているように思える。

*1:cf. 小室『論理の方法』p.284