Skinerrian's blog

論理学・哲学・科学史・社会学などに興味があるので、その方面のことを書きます。更新は不定期。

二重否定除去則と排中律

直観主義論理は排中律と二重否定除去則が成り立たない論理として知られる。どちらか一方を付け加えると、他方も導出できて、古典論理になる。

それでは、排中律と二重否定除去則は同値といってよいのだろうか。もちろん、直観主義論理の上では同値なのだが、これはもうちょっと奥の深い問題のようだ。

例えば、最小論理の上ではどうなるか調べてみる*1。最小論理とは直観主義論理からEFQを取り除いた論理だが、最小論理に二重否定除去則を加えるとEFQを導出できるため、一挙に古典論理となる。他方、最小論理に排中律を加えても古典論理にはならない。したがって、図式的に書くと

となる。

このことは二重否定除去則の方が排中律より強力であることを示しているのだろうか。そうも言いきれないと思う。シークエント計算で考えてみよう。二重否定除去則はシークエントの右辺がマルチセットになることを認めれば導出できるので、二重否定除去則は右辺がマルチセットであることに相当すると言えよう。しかし、排中律の証明にはそれだけでは足りず、右の縮約規則を使う必要がある。

そういうわけで、私としては

  • 二重否定除去則+縮約規則=排中律+EFQ

あるいは、EFQが弱化規則に相当すると考えて

  • 二重否定除去則+縮約規則=排中律+弱化規則

という風に考えてみたい。

*1:cf. 前原『記号論理入門』

タブローとシークエント計算

タブローはシークエント計算の特殊例にすぎない、という話を昔聞いたことがある。一体どういうことだろう、と長いこと理解できないでいたのだが、最近になって、こういうことかな、と勝手に自己解決したのでちょっとメモしてみる。

古典論理のシークエント計算にも色々な流儀があるが、ここで考えたいのはG3cと呼ばれる証明体系である。

よくよく考えてみると、G3cの推論規則はタブローで枝を伸ばす規則と似ている。類似性に気づくためには、まず、シークエントに出現する式をすべて左側に寄せる必要がある。右辺から左辺に寄せるには、否定を付ければよい。任意の結合子〇について、A〇Bから枝を伸ばす規則は、〇の左規則を下から上に読むことに対応する。¬(A〇B)から枝を伸ばす規則は、〇の右規則を下から上に読むことに対応する。枝が閉じることは、シークエント計算の公理である同一律のシークエントに出現する式をすべて左辺に寄せたもの、つまり矛盾律に対応する。

二重否定文から枝を伸ばす規則に対応するのは…。うーん、古典論理だから二重否定除去は許される、ということでシークエントの右辺から左辺に動かすときに二重否定は取り払ってしまうことにしておこう…。

∀の左規則は結論だけでなく前提にも全称文が含まれるが、タブローでは全称文から枝を伸ばす場合には、この式にチェックを入れることは許されず、何度でも利用可能であることに対応しているのだろう。

対応関係はメタ的な性質にも及ぶ。タブローの証明は部分式性質subformula propertyを満たし、カットフリーのG3cも部分式性質を満たす。対応関係が崩れるとすれば、構造規則かな…。まぁでもG3は構造規則がadmissibleなので、なくても証明能力はまったく落ちないわけだ。

素人考えだが、この先も考えてみたくなる。例えば、様相論理Kのシークエント計算。これを上のようなやり方で左側だけのシークエント計算に翻訳すれば、prefixなしの様相論理タブローが得られそうだ。

様々な含意関係

哲学の文献では"entail"という用語がよく出てくる。意味合いとしては、AがBをentailするとは、Aならば必ずBといったところだろうか。それも、単なる必然性ではなく意味によって・概念的に必然的、といったニュアンスも含まれる。論理的帰結関係はentailの一種だろうけど、知識が信念を含意する、といったときにもentailと言う。

entailの定訳は何だろうか。「含意」とか「伴立」とか「随伴」といった訳語をしばしば見かける。「含意」が一番多そうだけど、implicationも含意と訳すので(実質含意material implicationなど)、この辺はちょっと厄介なところ。そして、implication以外にも似たような概念が言語哲学まわりでは沢山ある。

ちょっと整理してみよう。さまざまな含意関係の違いを調べるときに、後件を否定した場合の効果を調べるのが有効だと言われる*1。entailの場合にはBを否定するとAも否定される(対偶)。前提(presupposition)の場合、Bが偽ならAは真理値をもたない*2。慣習的含み(conventional implicature)の場合は前件に関して言葉遣いを誤ったと見なされる。会話の含み(conversational implicature)の場合には、聞き手に誤解させるような話し方をしたとみなされる。

おまけ。

AがBを「必然的に随伴するentail」とは、AがBを含意し、かつAの否定がBの否定を含意していること、である。むろん、このときAとBは、論理的には同値になる*3

こういうentailの用法(論理的同値と同値であるような用法)は聞いたことがない。「Aの否定がBの否定を含意」は「Bの否定がAの否定を含意」の間違いではないか。

*1:イカンの『言語哲学』p.280

*2:ただし、これは意味論的前提の場合。

*3:大澤真幸『意味と他者性』p.125n1

グライスの「意味」

言語哲学者グライスの有名な論文「意味」は1957年に出版されたが、初稿が書かれたのはその10年ほど前だという*1。たしかに、邦訳の『論理と会話』に付けられた飯田先生の「グライス紹介」にも「発表は1957年であるが、もとの草稿は1948年に書かれたという」とある(p.358)。

邦訳の目次には出版年の情報が付けられていないが、原著の目次には章ごとに出版年が細かく記されている。それを見ると、Meaningは(1948, 1957)と記されている。飯田先生が「1948年」と書いた典拠はおそらくこれだろう。

wikipedia, "Paul Grice" には

See discussion of this history in Russell Dale, The Theory of Meaning, Chapter 1, endnote 31, p. 34.

とある。この著作はウェブ上で読めるようなので調べて見たところ、次のように書いてあった*2

Stephen Schiffer, Richard Grandy, and Richard Warner have all told me in personal correspondence that Grice originally wrote the paper for a seminar that he and Strawson were to give in 1948, but was reluctant to publish it. Strawson had the article typed out and submitted it for publication without Grice's knowledge. Strawson only told Grice after the article was accepted for publication. Stephen Schiffer has told me that Grice himself told him this story and Richard Warner has written to me that he also heard this story from Grice. The only person I have been able to find who has noted the 1948 date is Fogelin in his review of Studies in the Way of Words: "'Meaning'...was first published in 1957, and apparently given as a lecture almost ten years earlier in 1948" (Fogelin (1991)). But that "Meaning" was given as a lecture does not seem to be noted anywhere in Studies in the Way of Words and Fogelin doesn't mention a source for the information he provides.

 

*1:柏端『コミュニケーションの哲学入門』p.71n1

*2:The Theory of Meaning by Russell Dale; Chapter 1 Notes

モンテホール問題

モンテホール問題に関して、最近考えたこと。モンテがドアを開けた後で選択肢を変更したほうが正答の確率が上がるというのはパラドキシカルだと感じてしまうのは、モンテが確実にハズレのドアを開けるという点をきちんと考慮できていないから、だと思われる。

比較のために、次のようなケースを考えよう。私が3番目のドアを選びつつ、まだドアは開けないでおく。次に、別の人(どのドアが当たりかは知らない)が2番目のドアを選び、ドアを開けたところハズレだったとする。このとき、私は3番目のドアから1番目のドアに選択を変えるべきだろうか。いや、そんなことはない。どちらが当たる確率も等しいからだ。

このことをもう少し形式的に示してみよう。Aiを「i番目のドアが当たりである」、Biを「モンテがi番目のドアを開ける」という命題とする。なお、私は3番目のドアを選んだと仮定する。このとき、確率の付値は次のようになる。

  • Pr(A1) = Pr(A2) = Pr(A3) = 1/3
  • Pr(B1 | A1) = Pr(B2 | A2) = 0
  • Pr(B1 | A2) = Pr(B2 | A1) = 1
  • Pr(B1 | A3) = Pr(B2 | A3) = 1/2

ポイントとなるのは、2行目と3行目の付値である。1番目のドアが当たりのとき、モンテは絶対に1番目のドアを開けないで、2番目のドアを開ける。この事実こそが、例えば、モンテが2番目のドアを開けたときに1番目のドアが当たりである確率、つまり、Pr(A1 | B2) を計算するときに効いてくる。ベイズの定理を使って計算すると 2/3 となる。

先ほど比較のために挙げたケースでの確率の付値はこれとはまったく異なる。Biを「別の人がi番目のドアを開ける」と解釈すると、2行目と3行目の値はどちらも1/2となるからだ。この場合、選択肢を変えねばならない理由はない。

完全なものから一部を取り除いたら不完全

「その、「二重否定除去則」を認めないと、古典論理で証明された定理の中で直観主義論理では証明できないものが出てくるんでしょう?」

「出てくるね、排中律とか、ド・モルガンの法則の一部とか」

「どうしてそんな不完全なものが許されるわけ?」

「いや、直観主義命題論理の完全性は証明できるらしいよ」

「だって、古典命題論理の完全性も証明されているんでしょ?」

「うん」

「それで、直観主義論理は古典論理の一部なんでしょう?」

「そうさ」

アリスはそこで勝ち誇ったように、言った。

「完全なものから一部を取り除いたら不完全になるのよ。知らなくって?」*1

この練習問題はよくできている。巻末の模範解答によれば

「完全」ということは意味論に相対的だからね。古典論理の意味論に従えは、もちろん直観主義の公理系LIPは不完全になる。だけど、直観主義直観主義の意味論を提出するわけだ。そして、その意味論のもとでは、公理系LIPも完全になることが示されているんだ。(逆に、直観主義の意味論からすれば、古典命題論理の公理系LPは論理的真理でないものまで含んだ不健全なものとなる)

ということは、例えば、「一階論理なら完全性を証明できるけど、二階論理では無理」といった言い方には注意しないといけない。二階論理(命題論理だろうと述語論理だろうと)について、標準的な意味論を採用した場合には不完全だが、非標準的な意味論(ヘンキンの意味論など)を採用すれば完全性がいえる。どの意味論と相対的に完全/不完全なのかについて自覚的でないといけない。

*1:野矢『論理学』p.184

王水

王水(aqua regia)は金をも溶かす強酸として知られる。では、王水はどのようにして発見されたのだろうか。wikipediaの「王水」によれば

西暦800年前後、イスラム科学者のアブ・ムサ・ジャービル・イブン=ハイヤーンにより、まず食塩と硫酸から塩酸ができることが発見され、それを濃硝酸と混合することで開発された。

たしかに、王水は濃硝酸と濃塩酸を1:3の体積比で混合して得られる。しかし、王水の発見者も同じような製法で王水を作ったのだろうか?これはちょっと疑わしい。塩酸の製法が見つかったのはもっと後だと言われるからだ。かなり古い本だが、ダンネマンの『大自然科学史』によると、中世のアラビア科学では塩酸がまだ知られていなかった*1。15世紀のバシリウス・バレンティヌスという修道士、あるいは、16世紀のリバビウスという人が初めて合成したのではないか。

では、イブン=ハイヤーン(ゲーベル)は塩酸ぬきでどうやって王水を作ったのか。実は、塩化ナトリウムに濃硝酸を加えても王水はできる。高校の授業(?)で、この方法で王水を作らせた先生もいるみたいだ。歴史的な発見の順序にも沿っており、素晴らしい指導なのではないかという気がする。

 

*1:大自然科学史』3巻p.130