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Skinerrian's blog

論理学・哲学・科学史・社会学などに興味があるので、その方面のことを書きます。更新は不定期。

ゲーデルの定理(2)

数学 ポストモダン

仲正昌樹ゲーデルの定理についてこんなことを書いている。

不完全性定理」というのは、「現代思想」の文脈に合わせて簡略化して言うと、いかなる無矛盾な体系においても、その体系自体の中では証明も否定もできない論理式=命題が存在する、ということである。もっと崩して言うと、「この体系には矛盾がない」という”命題”を証明しようとしたら、まず「体系」とは何で、「矛盾しない」とはどういうことか、、といったルールをきちんと規定したうえで、その体系の「内部」で、その通りになっているか検証してみなければならないが、その初期設定自体が正しいか否かは、体系の「内部」で証明することはできない、ということである*1。 

一文目は第一不完全性に関わる話だが、二文目ではいつのまにか第二不完全性のような話にすり替わっている。また、「いかなる無矛盾な体系においても」は強すぎで、一階の実数論のように無矛盾で完全な理論は普通にある。これは「現代思想」の文脈どころかどんな文脈だろうと間違い。文脈に合わせた適度な「簡略化」として認められるのは「十分に強い算術の公理系では」とかそういう類の言い回しまでだと思うよ。

上の引用は次のように続く。

ゲーデル自然数論に即して、かなり複雑な手順でこのことを証明しているが、ある理論の"証明のためのルール自体"を、そのルールによってこれから証明しようとしている当の理論によって証明しようとすれば、循環論法になってしまってうまくいかないことは、直観的にわかるだろう。

「証明のためのルール」で算術の公理を意味しているのなら、算術の公理はテクニカルな意味ではその公理系によって「証明」できると思う。「循環論法」云々は、ある理論の無矛盾性証明を行うのは別のメタ的な理論なのだから当たり前、という第二不完全性定理に関して割とありがちな批判ではないかと思う。これがどう的外れなのかは、例えば、野矢茂樹の『論理学』5章あたりで解説されていたと思う。

引用をさらに続ける。

これは論理学で、「自己言及性のパラドックス」と呼ばれるものから生じてくる問題である。ある論理体系、あるいは理論が、自分の依って立つ大前提を自分で証明することはできな「この論証方法は論理的である」ということを、その論証自体によって”論理的に”証明することはできない

二文目は演繹の正当化みたいな話になっていて、自己言及のパラドクスの説明にはなっていない。この辺りまで来ると、理解の浅さが浮き出てるように思う。

なお、ここで引用した文章は、柄谷行人が「形式化の諸問題」などでゲーデルを持ち出した、という歴史を解説しているところである。柄谷が色々と間違いを犯していることは多くの識者たちによって指摘されてきたし、仲正もそれを認知しているわけだが、残念ながら、この日本の現代思想の解説書では、間違いは適切に修正されることなく再演されたか、あるいはさらに増えてしまったようだ。日本の現代思想がいかにユルいかがよく分かる。

Postscript (2017/1/24)

思わぬ形で著者本人からのコメントが舞い込んできた。これ以上言いたいことがあるならメールで、とのことだが、ここまでのやり取りから推測して、メールを交わしても「お互いに」得るところはないだろうからメールはしていない。ただ、「こういう風に書けないかという提案なら建設的」という点に関しては、この記事の読者にも同じ感想を持つ人がいても不思議でないので、私の考えを述べておく。

まず、数学基礎論に詳しい人ほど、柄谷行人らが何を言ってるのか分からないと言っているのが実情である以上、彼らによる不完全性定理への言及は「比喩」として完全に失敗していると判断してよいと思う。このことを前提するなら、次のような形で議論を進めるのが有益だと思われる(できるとは言ってない)。すなわち

柄谷らは自分たちの主張をするにあたって不完全性定理に言及した。ただし、彼らの不完全性定理の理解には不適切な部分が多々あると批判されてきた。具体的には〇〇といった論点を彼らは理解してないフシがある。しかし、比喩として失敗しているにせよ、彼らは何らかの「有意味な」主張をしているのであり、それは不完全性定理など持ち出さなくても次のように述べることができる…

ここでのポイントは、不完全性定理と切り離して柄谷らの主張を定式化することにある。不完全性定理の理解のまずさを根拠に柄谷らを嘲笑する人々は、彼らがfashionable nonsenseに陥ってるのではないかと疑ってる。そもそも柄谷らは有意味(meaningful)な主張をしているのか、と。その疑いを晴らすには、不完全性定理からの切り離しが一番効果的なはずだ。現代思想風に簡略化された意味での不完全性定理などという代物を無理にたちあげる必要はない。著者は再構成したつもりなのかもしれないが、不完全性定理にわざわざ言及することに意味があったとは思えなかった(理由は上の本文の通り)。

さて、このように議論を進めることができたとすれば、次に著者が明らかにすべきは、不完全性定理と切り離して定式化された柄谷らの主張が果たして議論に値するようなものなのか、をはっきりさせることだろう。無意味でなくても退屈な主張などありふれている。演繹の正当化って難しいよね、ってことなら誰でも知ってる。柄谷らはそんな退屈なことを小難しく言っただけなのか。もっと内実のあることを言ったのか、そうではないのか。この辺が明らかになったら、著者のいう「ソーカル教」の人々が現代思想に向ける目も変わってくることだろう。

なお、柄谷らによる不完全性定理の誤解の具体例をいくつか指摘するのに膨大な紙幅が必要だとは思えない。なにも不完全性定理をゼロから証明しろとは要求していない。それでは数学基礎論の教科書になってしまう。そうではなくて、誤解のポイントを手短に押さえた上で、信頼性の高い参考文献を挙げて「もっと詳しく知りたければこれを見よ」などと言ってくれれば十分親切だ。最近のものでは、フランセーンや菊池誠の本があるが、ひと昔前でも信頼性の高い手頃な文献はあったはずだ。

*1:『集中講義!日本の現代思想』p.179f