Skinerrian's blog

論理学・哲学・科学史・社会学などに興味があるので、その方面のことを書きます。更新は不定期。

命題論理の公理(2)

戸田山和久『論理学をつくる』で、一つしか公理をもたない命題論理の公理系として、メレディスの公理系というのが紹介されている。

  • ( ( (A → B) → (¬C → ¬D) ) → C → E) → ( (E → A) → (D → A) )

推論規則はMPだけという何ともストイックなシステムである*1。この公理図式が何を表現しているのか見当もつかない。これもうわけわかんねぇな。

しかし、公理が複数個あれば証明ははるかに易しくなる、というわけでもない。例えば、リンク先のwikipediaのページで紹介されているウカシェーヴィチの公理系

  • (A → B) → ( (B → C) → (A → C) )
  • (¬A → A) → A
  • A → (¬A → B)

なんてどうだろう。もちろん、一般に、ヒルベルトシステムの証明は名人芸的になるわけだが、それにしても、この公理系は扱いづらいっすよ。演繹定理を証明するまでですら、すごく骨が折れる。まぁ、各々の公理図式が何を表現しているのかは、メレディスの公理よりはるかに見通しがきくけれど。

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