同値関係は反射性+対称性+推移性で定義されるが、反射性+ユークリッド性でも同値関係になる。ところが、対称性+推移性はユークリッド性と同値ではない。なぜなら
という方向は成り立つが、逆は成り立たないからだ。W = {a, b, c}, R = {<a,b>, <b,b>, <b,c>, <c,b>, <c,c>} とすると、フレーム<W, R>はユークリッド的だが対称的でも推移的でもない。
は言えるが、
は成り立たない。W = {a, b}, R = {<a,b> <b,b>} とすると、フレーム<W, R>は推移的でユークリッド的だが、対称的ではない。
