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Skinerrian's blog

論理学・哲学・科学史・社会学などに興味があるので、その方面のことを書きます。更新は不定期。

記述理論(2)

「どのFもGである(Every F is G)」は、Fが空である場合にはGが何であれ真になるということを、「aはFである」という単称肯定文において単称名"a"が空である場合にまで拡張することが、一般向けの啓蒙書ではなされがちなのではないか、という疑念を前々から持っている。この拡張は不適切だろう。Fが空のとき「どのFもGである」はトリビアルに真だが、aが空のとき「aはFである」は真理値を欠くか、端的に偽である。特に、ラッセルの記述理論によれば、「現在のフランス王は禿げである」のように、空虚な確定記述が現れる場合、「aはFである」という文全体は偽になるはずだ。

幾つか例を挙げる。

妹が実際に存在しないとすれば、その妹については何を言っても正しい。妹がお前にほれていると言っても正しいし、お前を殺したがっているといっても正しい。…つまり、存在しないものについてはいかなる命題も成り立つ、というのが数学的論理の一つの特徴なのである*1

別の例。

[…]「四角い円だからまるくない」と言っても、「四角い円だからまるい」と言っても、どちらもまちがいなのである。今日の形式論理学では、これらは空集合に言及するともに真なる命題とみなされるが[…] *2

「四角い円」はふつう "The square circle"という確定記述だと解釈される。これは空名である。よって、記述理論により「四角い円はまるい」は偽になる。つまり、石川が言うのとは違って、今日の形式論理学では「四角い円はまるい」は偽である。さらに言えば、記述理論のもとでは「四角い円」は空集合に言及しているわけではない。

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*1:小室直樹『数学を使わない数学の講義』p.18f。この本は『超常識の方法』というタイトルで祥伝社から出版された本を復刊したもの。ちなみに、この本には他にもいろいろ問題点があると思う。例えば、ユークリッドの公理系は5つしか公理を持たないと言ってる。たしかに、公準は5つあるが、現代的な意味では共通概念も公理であり、公準と共通概念をあわせると公理の数は5つではない。

*2:石川文康『カント入門』p.84