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Skinerrian's blog

論理学・哲学・科学史・社会学などに興味があるので、その方面のことを書きます。更新は不定期。

中間論理

論理学のメモ。直観主義より強い論理を超直観主義論理(superintuitionistic logic)と呼び、その内で古典論理より弱いものを中間論理(intermediate logic)と呼ぶ。例えば

  • ド・モルガン論理:直観主義命題論理(IPC) + 弱排中律(not-not-P or not-P)。この体系では、ド・モルガンの法則 "not-(P Q)→(not-P v not-Q)" が証明できる。
  • ゲーデル論理:IPC + (P→Q)∨(Q→P)。Qの位置に"not-p"を代入して得られる"(P→not-P)∨(not-P→P)" を前提にすると、弱排中律"not-not-P v not-P" を導出できる。

ゲーデル論理は一種のファジー論理になる*1。真理値を有限個に抑えるには、IPCに P1v(P1→P2)v ... v(P1P2 ... &Pk-1→Pk) を加える。

ところで、IPCでは二重否定除去はできないけれども、not-not-not-p→not-P を証明することはできるので、IPCに not-not-not-P v not-not-Pを加えても、ド・モルガン論理より弱くはならないんだな…。

Postscript (2014/8/21)

中間論理の意味論は、ちょうど直観主義論理の意味論で使うクリプキ構造によって与えられる*2直観主義論理の場合は擬順序(推移性+反射性)を使うが、例えば、ゲーデル論理では弱順序を使うことができる。

*1:この論理は、ウカシェーヴィチの多値論理と違って、矛盾律トートロジーになる。Pの真理値が0より大きい場合、not-Pの真理値が0になるからである。ただし、ウカシェーヴィチの多値論理とは違って、二重否定除去は成り立たない。排中律はどちらでも成り立たない。http://plato.stanford.edu/entries/logic-fuzzy/#4

*2:cf. 古森・小野『現代数理論理学序説』4.1節