Skinerrian's blog

論理学・哲学・科学史・社会学などに興味があるので、その方面のことを書きます。更新は不定期。

論理学

必要条件と十分条件

資料があることは研究を開始する十分条件ではありますが,必要条件とはなりません.大量に存在する資料が示唆する大量の「それ」のなかから自分の研究テーマを選択するのは,自分の問題関心にほかなりません.自分の問題関心をもって資料に問いかけることか…

エンダートンの教科書

最近、定評あるHerbert Endertonの教科書(A Mathematical Introduction to Logic)の日本語訳が出た。私もこの本で論理学を勉強した人間の一人なので、この素晴らしい本が多くの人に読まれるのは喜ばしい。 論理学への数学的手引き 作者:Herbert B. Enderto…

ワニのジレンマ

河岸で人食いワニが子供を人質にとり、子供の親に「自分がこれから何をするか言い当てたら子供を食わないが、不正解なら食う」と言った。これに対し、親が「あなたはその子を食うでしょう」といったらどうなるか。 ワニのパラドックス - Wikipedia これは自…

ヘンキンの問題

ゲーデルは不動点定理を用いて「この文は証明できない」という趣旨を表現する算術の文gを構成して、gが無矛盾な公理系では証明も反証もできないことを示して、算術の不完全性を示した。 それでは、「この文は証明できる」を表現する算術の文を構成したらどう…

パラドクスの効用

ラッセルのパラドクスは、パラドクスというよりも「ラッセル集合なんて存在しない」という趣旨の定理だという風に言われることがある。これは単に言葉の問題だと思うのだが、どちらの見方にも意義があると思う。 数学の基礎に関心のある哲学者なら、素朴集合…

伝統論理と存在措定

伝統論理と現代の論理学の違いとして、主語概念の存在措定がよく指摘される。実際のところ、伝統的な三段論法の中には、存在措定なしには妥当でないものが幾つか混じっている。例えば、 すべてのMはPである すべてのSはMである よって、あるSはPである たし…

二重否定除去則と排中律

直観主義論理は排中律と二重否定除去則が成り立たない論理として知られる。どちらか一方を付け加えると、他方も導出できて、古典論理になる。 それでは、排中律と二重否定除去則は同値といってよいのだろうか。もちろん、直観主義論理の上では同値なのだが、…

タブローとシークエント計算

タブローはシークエント計算の特殊例にすぎない、という話を昔聞いたことがある。一体どういうことだろう、と長いこと理解できないでいたのだが、最近になって、こういうことかな、と勝手に自己解決したのでちょっとメモしてみる。 古典論理のシークエント計…

完全なものから一部を取り除いたら不完全

「その、「二重否定除去則」を認めないと、古典論理で証明された定理の中で直観主義論理では証明できないものが出てくるんでしょう?」 「出てくるね、排中律とか、ド・モルガンの法則の一部とか」 「どうしてそんな不完全なものが許されるわけ?」 「いや、…

ヒルベルトスタイル

現在、論理学での「証明」のやり方としてしばしば採用されるものとしては、「タブロー」の他に、ゲンツェンが考案した「自然演繹」と呼ばれる方法がある。そして自然演繹の方法は、かつての「公理的方法」などに比べれば、はるかに習得が容易であるしー公理…

free, meinongian, inclusive

古典的な一階論理から踏み外す3つの方法について考えてみる。 タームの指示対象は量化のドメインのメンバーである。 自由論理free logicでは、この仮定が外れる。「ゼウス」みたいな名前は指示対象がないか、あったとしてもゼウスは量化のドメイン外に置かれ…

ゲーデルの定理(6)

「自然数論は無矛盾であるならば不完全である」、これがゲーデルの第一不完全性定理である。さらにゲーデルはもっと驚くべき定理を証明した。今自然数論の無矛盾性が証明されたと仮定しよう。このとき「この命題は証明可能でない」という命題が論理的に真で…

ゲーデルの定理(5)

「不完全性定理」というときの「完全性」の意味に関して。 最後に、公理系は完全であるかと言う問題がある。すなわち、公理系のすべてのモデルでなりたつ命題は、公理系から結果として証明されるか、という問題である。再びゲーデルは、相応に豊富な任意の公…

ブール代数の公理系

ブール代数の公理系についてのメモ。論理学の本では、束→分配束→ブール束という順番で公理系を強化していくが、新たに公理を付け加えたことで、中には冗長になる束の公理もあるらしい。ハンティントン(1904年)の公理系は 同一律 identity 交換律 commutati…

イオタとラムダ

確定記述を使った主語述語構文 "The F is G." を標準的な述語論理の言語に翻訳すると ∃x(Fx & ∀y(Fy → x=y) & Gx) となる(ラッセルの記述理論)。ただし、述語論理の言語にイオタ演算子ιを付け加えて*1、"the F"を個体を指示するタームのように扱う方法も…

チャーチのラムダ計算

wikipediaの「ラムダ計算」によると 元々チャーチは、数学の基礎となり得るような完全な形式体系を構築しようとしていた。彼の体系がラッセルのパラドックスの類型に影響を受けやすい(例えば論理記号として含意 → を含むなら、λx.(x→α) にYコンビネータを適…

嘘つき(2)

ジェスパー・ホフマイヤー『生命記号論』から。 次の文は実際には何を意味しているのだろうか。「この文には三つもまつがいがある。」この文は正しいと言えるだろうか。実際には、間違いはただ一つ「まつがい」だけである。この文を正しく読めるものにするに…

対応理論

戸田山『論理学をつくる』は終盤で様相論理について簡潔な解説をしている。そこで「対応理論」という用語がでてくる(p.315)。様相論理の式とそれが妥当になるフレームの到達可能性関係の対応をあつかう理論、といったところだろうか。そこで著者が紹介して…

カリーのパラドクス

自分自身を含まない集合 {x | ¬x∈x} などという集合の存在を認めてしまうと矛盾が生じる。カリーのパラドクスは、このラッセルのパラドクスとよく似ている*1。論理学では、否定命題¬Pを「P→⊥」という形で定義することがある。この定義を用いると、ラッセル…

意味論的パラドクス

嘘つきのパラドクスは「意味論的パラドクス」などと呼ばれる。真理は意味論的な述語だからそう呼ばれるのだけど、意味論的な述語は真理だけではないので、例えば、次のような意味論的パラドクスもある。 1 = 1 したがって、この論証は妥当ではない。 論証が…

排中律の反例

直観主義論理では排中律(P v not-P)が成り立たないと言われる。しかし、これは排中律の否定が成り立つということではない。排中律の否定を仮定すると直観主義論理の範囲でも矛盾が導かれるので、排中律の二重否定が成立する*1。 そういうわけで、排中律が…

クラスの混同

上野千鶴子『構造主義の冒険』(1985年)p.70から。 「支配の正統化」とはウェーバーが定式化して以来、支配に内在する永遠のパラドックスである。このパラドックスは、正統性は自らの内には正統化根拠を持たない、という矛盾に起因する。正統性が自らの正統…

選言特性

論理学のメモ。まず、次の問題を考えてみる*1。 Γ |= αvβ ならば、Γ |= α または Γ |= β といえるか?言えない場合には反例をつくれ。 答えはもちろん「言えない」。Γ = {αvβ} が反例になる。 しかし、これは古典論理の話であって、直観主義だと成り立つので…

形而上学者ウィトゲンシュタイン

形而上学者ウィトゲンシュタイン―論理・独我論・倫理 作者: 細川亮一 出版社/メーカー: 筑摩書房 発売日: 2002/02 メディア: 単行本 クリック: 10回 この商品を含むブログ (2件) を見る ハイデガーの研究者による、一風変わったウィトゲンシュタインの研究書…

命題変数

古典命題論理についてのメモ。命題論理において A v not-A A → A のような式はトートロジーと呼ばれる。Pをどのように解釈しようと、これらの式は常に真になる。 この「どのように解釈しようと」という部分を、対象言語の中で直接に表現する方法として、命題…

ロビンソン算術

ロビンソン算術Qは以下7つの式(の全称閉包)を公理にもつ。 Sx ≠ 0 Sx = Sy → x = y x ≠ 0 → ∃y(Sy = x) x+0 = x x+Sy = S(x+y) x・0 = 0 x・Sy = (x・y)+x 不等号は次の定義によって導入する。 x < y ≡ ∃z(x+Sz = y) フランセーン『ゲーデルの定理』はよく…

anyの用法

"any" の用法について調べていたところ、こういうサイトに出くわした。 英会話のための英文法!限定詞「Any」のイメージと使い方!! | 飽きっぽい人のための長続き英会話 ~初心者スピーキング上達法~ こういうサイトって、なんというか、英語の堪能な人が…

逆バーカン式

飯田隆『言語哲学大全3』を読み返してて思ったこと。量化様相論理を解説している節で、最初に真理値ギャップを認める意味論が紹介されている。この意味論で、特に、必然性演算子の真理条件を □φがwで真 iff wRvとなるすべてのvで、もしφがvで真理値をもつな…

現実性オペレータ(2)

現実性オペレータを言語に足しても、もとの言語で表現できない内容を表現できるとは限らないという先の話だが、少なくとも量化を含む言語では話が違ってくるらしい。例えば 現実には存在しない対象もまた存在することができた という文は ◇∃x@∀y x≠y と書け…

現実性オペレータ

標準的な様相論理の言語に、現実性オペレータ@を付け加えると、色々ふしぎな結果が得られるという話。 構文論は、φがwffならば@φもwffとする。意味論は、標準的な様相論理の言語ではモデル<W, R, V>と相対的に式が評価されるのに対し、@を付け加えた場合…