Skinerrian's blog

論理学・哲学・科学史・社会学などに興味があるので、その方面のことを書きます。更新は不定期。

ブール代数の公理系

ブール代数の公理系についてのメモ。論理学の本では、束→分配束→ブール束という順番で公理系を強化していくが、新たに公理を付け加えたことで、中には冗長になる束の公理もあるらしい。ハンティントン(1904年)の公理系は

  • 同一律 identity
  • 交換律 commutativity
  • 分配律 distributivity
  • 補元律 complements

の四種類の公理から成る。吸収律absorptionとかベキ等律idempotentとか結合律associativityなどはすべて、これらの公理から証明できるのだとか。詳しくは以下を参照。

他にもいろいろな公理化の仕方があるみたいだ。ハンティントンの等式Huntington equationというのを使うと、結合律と交換律を合わせた三つだけで済むのだとか。記号の数もintersectionがいらなくなって二つで済むようだ。

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マンフォード『因果性』『形而上学』

最近翻訳されたスティーヴン・マンフォードの本2冊を読んでみた。

哲学がわかる 因果性 (A VERY SHORT INTRODUCTION)

哲学がわかる 因果性 (A VERY SHORT INTRODUCTION)

 
哲学がわかる 形而上学 (A VERY SHORT INTRODUCTION)

哲学がわかる 形而上学 (A VERY SHORT INTRODUCTION)

 

どちらもコンパクトに要点が纏まっていて悪くない本だと思う。どちらかと言われれば、個人的には『因果性』の方がお薦め。『形而上学』の方はちょっと退屈だった(個人の感想です)。それと、時間の章(6章)で、現在主義は特殊相対性理論と緊張関係にあるという有名な問題を紹介する箇所が問題アリの記述になってるようだ。私の理解する限りでは、慣性系によってどの点とどの点が同時であるのか変わりうるから特権的な現在を選ぶことなどできまい、というのが(かつてパトナムが指摘した)問題なのだが、マンフォードの書き方だと、光速度が有限で伝播に時間がかかるというだけのことから現在主義に問題が生じるかのようになっていて奇妙、ということだと思う。訳者たちはカッコで文言を補いまくって説明が適切になるように仕立て直している。この力業には驚いた。現代形而上学に不信感を持っている人は「現代形而上学、やっぱダメみたいですね」と言いたくなるかもしれないが、こういう風に自浄作用がちゃんと働いているのは良いことだと思う(訳者たちも現代形而上学の研究者だし)。

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タブラ・ラサに関するメモ

そこで、こころというものは、いわばなんの刻印もなく、どのような観念ももっていない白紙である、と想定しよう。 

この有名な一文は、ロック『人間知性論』2巻1章2節にある。ロックは「白紙white paper」と書いている。熊野純彦によると*1

ラテン語で「白板tabula rasa」と呼び変えたのは、ライプニッツである(『人間知性新論』「序文」ほか)。 

ただし、邦訳の『人間知性論』1巻解説(p.317)によると、このラテン語表現はガッサンディも用いていたし、ロック自身も『知性論』の二つの草稿で用いていて*2、当時の知識人にとってはおなじみの用語だったようだ。

おなじみの用語であるからには、中世あるいはひょっとすると古代にまで遡るような伝統をもつ概念を指している可能性が高い。再び、熊野純彦によると

ストアの認識観は、一般的にいって経験論的な色彩の強いものであった。「ストアのひとびとの語るところによれば、人間は生まれたとき、たましいの主導的な部分を書きこみのためによく整えられた白紙として所有しており、個々の観念をここにみずからひとつひとつ書きこむという」(『断片集』第2巻、断片83-白紙という比喩は、一方ではおそらくアリストテレスに由来する(『デ・アニマ』第3巻第4章)。他方それは、いくつかの屈折を経て、イギリス経験論の雄、ロックによる「白紙」の比喩にまで流れ込んでゆくことになる*3 

「いくつかの屈折を経て」の内実は、英語版のwikipedia

が割と詳しく書いてる。

白紙・白板の比喩がアリストテレスまで遡れるということは、アリストテレスとロックが心というものを全く同じように考えていたということを意味しない。古代・中世の哲学で白紙・白板になぞらえられているのは受動知性(可能知性)であって、知性には能動知性という別の側面もあるとされる。坂部恵の整理によると、知性intellectusの概念から能動知性を落として受動知性へと切り詰めたことが、ロック的な知性understandingの概念につながった、とのことだ*4

受動知性は、経験から獲得した概念や知識の貯蔵庫のようなものとしてイメージしておけばよさそう。生まれた時点では何も貯蔵されてないから、白紙・白板ということなのだろう。なお、現代の心理学では「記憶」にも色々な種類があるとされるが、ここでいう知性と関係する記憶は「意味記憶semantic memory」とか呼ばれてる。他方、海辺に連れて行ってもらったことを覚えているといった過去の記憶(エピソード記憶)は、知性ではなく想像力の働きと関連づけられる。

受動知性と比べて、能動知性の概念は分かりづらい。物体を見るために必要な光に喩えられることが多いが、大まかには、感覚経験から抽象的情報を獲得するために人間が持っている能力、という風に理解しておく。「人間が持ってる能力」というところがミソである。ほかの動物は感覚能力に関して人間と同等だが知性を欠くので、物質的対象について抽象的思考をめぐらしたり、知識を獲得することができないとされる。

能動知性は言語をマスターする能力と密接な関係にあるので、アンソニー・ケニーはこれをチョムスキーの生得的な言語獲得能力と比較している*5。子供が言語断片から驚異的な速さで文法を獲得することは、何か特異な能力を仮定しなければ説明がつかない。それと似て、自然界の質料的条件から概念を抽象するための能力は感覚能力とは別個の能力を仮定しないと説明がつかない、これら能力はどちらも人間という種に特有である、といったところだろうか。

*1:『西洋哲学史 近代から現代へ』p.40

*2:ロック自身は"rasa tabula"と書いたらしいが。

*3:『西洋哲学史 古代から中世へ』p.123

*4:『ヨーロッパ精神史入門』p.87

*5:トマス・アクィナス心の哲学』4章

White Album2 アニメ版

原作のゲームをプレイした勢いで、アニメ版全13話も視聴してみた。原作でいうIntroductory chapterのアニメ化になっている。全三部のうち、私自身はIntroductory chapterが一番気に入っているので、これでいいと思う。続編は別になくていい。

アニメ版の最大の長所は、動いている冬馬かずさを見られることにある(異論は認める)。スタジオで布団を敷いて寝こんでるところなど、原作では一枚絵がなかったシーンなどもちゃんと描かれてる。でも、原作からの細かな改変が多くて*1、気に入っていた or 印象に残ったセリフが削られていたのは残念。

最初の2,3話はとにかくテンポが速かったように思う。これだと、初見さんは置いてけぼりをくらいそう(といっても、話の構図はシンプルなので、何が起こってるのか分からないなんてことにはならないだろうけど)だし、原作をプレイした人は余韻を楽しめないつくりになってる…。この段階で見限った人も結構いるのではないかと恐れる。それに、ヒロインたちのデレデレっぷりが序盤から目につくのもいただけない。原作では主人公視点のため、そこまであからさまじゃなかったと思う。

ただ、メンバーがそろって学園祭への準備が本格的に始まるあたりになると、余裕がでてきたのか、ペースも落ち着いて描写も丁寧になってきたように思う。特に、かずさ視点で話が進む10話と11話「雪が解け、そして雪が降るまで」は初回限定版のノベル(未読)が基になっているようだ。ここはよかった。結局、13話では微妙に短すぎたということなのだろうか。

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*1:後でwikipediaを読んでみたら、PC版ではなくプレステ3版に依拠していることが分かった。

White Album 2

White Album 2』(Leaf 2010-11)をプレイしたので、感想を書いてみる。以下WA2と略。ネタバレはほとんどないと思うが、気にする方は注意。

WHITE ALBUM2(「introductory chapter」+「closing chapter」セット版)

WHITE ALBUM2(「introductory chapter」+「closing chapter」セット版)

シナリオの評価が高いことは前から知っていたので、いずれプレイしたいと思っていた*1。もう発売から結構時間が経ってしまったが、ずっと積んだままになっていた。クリアまでに結構時間がかかるとも聞いていたので及び腰になってたところもある。ゆっくりでいいから時間を見つけて読もうと思ってたが、いざはじめてみると睡眠時間を削って最後までやってしまった…。熱狂的なファンがいるのも分かる。聖地巡礼ストラスブールにまで行ってロケ地の写真を撮ってるファンもいるみたいだ。マップまで作られてる、凄いなぁ。

ストラスブールというと、科学史に興味のある私は天文時計を見てみたいと前から思ってたのだけど、WA2をプレイしたことで見学したい場所が増えてよかった。訪問できるのはいつになることやら分からないが…。

WA2のシナリオライターLeafと特に関わりないと思うのだが、ファンサービスが多く好感が持てる。前作のWAや「痕」「Routes」など、Leafの過去作品の楽曲のアレンジがBGMに使われていたり、音楽室に入るときの合言葉が「ここがあの女のハウスね」だったり。

さて、WA2は、Introductory Chapter, Closing Chapter, Codaの三部構成となっている。それぞれ、高校3年目の冬、大学3年目の冬、社会人1年目の冬に対応している。ただし、Introductory Chapterは一本道で、選択肢が出てくるのはClosing Chapterからとなる。主なヒロインが二人いて、主人公との三角関係が(トータルで5年に及ぶ)三部を貫くテーマになっている。

まぁ、そんなわけでヒロインが二人いるわけだが、私の好みは断然ピアニストの冬馬かずさ! 残念ながら、シナリオライターは雪菜推しなのだが。かずさの扱われ様は不遇であり、テキストを読んでいて大変心苦しい。ヒロインの二人はたしかにどっちも重い女だけど、雪菜はそういう次元を超えていて、ちょっと気持ち悪くて引くレベル(雪菜ファンには申し訳ない)。

要所要所の選択肢は結構よくできてると思うが、落とし穴が一つ。Closing Chapterでかずさの母親のコンサートを聴きに行くかどうかの選択肢が途中で出てくる。ただし、「行く」という選択肢は灰色になっていて選べない。どういうルートを通ればこの選択肢を選べるのか本気で調べたのだが、どうしても分からず…。泣く泣く攻略サイトを見たら「これはダミーの選択肢」と書かれてて、思わずブチ切れてしまった。

それはともかく、Closing Chapterではかずさがほとんど登場せず、Codaのかずさルートはライターのやる気が感じられない。それに、Closing Chapter と Coda は冗長なところも多かったように思う。というわけで、私的に一番印象がよかったのはIntroductory Chapterということになる。学園祭までのテンションの高い描写がいいなぁと思った。Codaの雪菜true endの終盤よりこっちのがいい…。

ところで、メインヒロイン(注:確定記述)の冬馬かずさはピアニストなので、Introductory ChapterとCodaではクラシックの曲が数多くつかわれている。母親から主人公への恋心をからかわれ、顔を赤らめながらチャイコフスキーの「葦笛の踊り」(『くるみ割り人形』)を練習するかずさ、かわいい!

amazonで検索して気づいたけど、かずさが弾いたクラシック曲のCDなんかも発売されてるようだ。でも、これはアニメ版に準拠しているためか、ゲーム版で使われてるクラシック曲を全部カバーしてるわけではなさそう。さっき言及した「葦笛の踊り」とか、ショパンの「英雄ポロネーズ」、シューマンの「ピアノソナタ2番」などなど…。

TVアニメ WHITE ALBUM2 かずさクラシックピアノ集

TVアニメ WHITE ALBUM2 かずさクラシックピアノ集

まぁどうせ音しか収録されてないのだから、もっと有名な演奏家のCDを普通に聞けばいい気もするけど。

冷淡なことも書いてしまったが、結論としては、多少の難点はあるにしても十分楽しめるゲームだった。ちなみに、三角関係がテーマだから、ということもあってか、プレイ中しばしば『君が望む永遠』のことを思い出していた。時間だけが残酷で優しい。今はとてもつらい心の傷も時間が経てばきっと癒える…という希望がある『君望』と、そういう希望をあまりもてそうにない『White Album2』、みたいな比較ができないだろうか。 

*1:「2012年にAmazon.co.jpで行われた「Amazon.co.jpアダルトPCゲーム ベストオブシナリオコンテスト2010-2012」の投票で、『WHITE ALBUM2』(「introductory chapter」+「closing chapter」セット版)が1位を受賞している」丸戸史明 - Wikipedia

独立性と確証

確率論を勉強していると、見かけ上は違うけど実際は同値になるような定義がよく出てくる。知ってる人にとってはあまりにも基本的な話だろうけど、初学者は混乱するので備忘録的にまとめておく。

独立

AとBが確率論的に独立である(ための必要十分条件

  • P(A|B) = P(A)
  • P(A&B) = P(A)×P(B)

この概念はどんな初歩的な確率論の解説でも紹介されているように思う。二つの定式が同値であることは、条件付き確率の定義からただちに分かる。

条件付き独立

AとBがCのもとで確率論的に独立であるのは

  • P(A|C) = P(A|B&C)
  • P(A&B|C) = P(A|C)×P(B|C)

条件付き独立の概念は相関関係と因果関係を区別するときに、しばしば言及される。例えば、AとBの間に相関があっても、それはCがAとBの共通原因になっているからで、AとBの間には因果関係がない、というケース。この場合には、AとBは独立でないが、Cのもとで条件付き独立になる。

なお、条件付き独立は独立より弱いというわけではなく、AとBが独立だからといって、任意のCのもとでAとBが条件付き独立になるとは限らないことを注意しておく。

確証1

確率論的な確証概念には二種類あって、一つは観察証拠が仮説の確率を上げるという定式化で、もう一つは観察証拠のもとで仮説の確率が高いという定式化。ここでは便宜的に確証1と確証2と名付けておく。

OがHを確証するのは

  • P(H|O) > P(H)
  • P(O|H) > P(O|not-H)

確証2

OがHを確証するのは

  • P(H|O) > 1/2
  • P(H|O) > P(not-H|O)

二つ目の定式は馴染みがないかもしれない。P(H|O) + P(not-H|O) = 1 であることを利用すれば簡単に証明できる。確証1の二つ目の定式と似ているのが興味深い(紛らわしいだけ?)。

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イオタとラムダ

確定記述を使った主語述語構文 "The F is G." を標準的な述語論理の言語に翻訳すると

  • ∃x(Fx & ∀y(Fy → x=y) & Gx)

となる(ラッセルの記述理論)。ただし、述語論理の言語にイオタ演算子ιを付け加えて*1、"the F"を個体を指示するタームのように扱う方法もある。その場合には

  • GιxFx

と書くことができるだろう。

次に、"a is F and G." という文を述語論理の言語に翻訳することを考える。一般的には

  • Fa & Ga

という風に翻訳されるが、もう少し英語の文と構造的に似ている文に翻訳できないものだろうか。そのためには、"F and G"を性質を指示する単項述語のように扱うことを可能にするラムダ演算子λを付け加えるのがよい。そうすると、上の文は

  • λx.(Fx and Gx) a

に翻訳される。イオタ演算子が記述理論で消去できるのと同様に、ラムダ演算子もベータ簡約によって消去できるので、これらの方法は一階言語を本質的には拡大していないと言えよう。

さて、このような方法は結構有名なので、もう誰から教わったのかも忘れてしまったのだが、最近、カルナップの『意味と必然性』がこれを簡潔に紹介していることを知った。

二つの量記号に加えて、二つの他の種類の演算子(operator)が現われる。すなわち、個体記述のためのイオター演算子(‘(ιx)(...x...)' ,‘...x...というような唯一の個体x')と抽象表現(abstraction expression)のためのラムダー演算子(‘(λx)(..x ..)',‘...x...というようなそれらのX の性質(或いは集合)')、もしも文が抽象表現とそれに続く個体定項とから成るとすれば、その文は、 その個体が当の性質をもっているということを語っている。 それ故、‘(λx)(...x...) a 'は ‘...a...' すなわち ‘x' に ‘a' を代入して‘...x...' から形成される文と同じことを意味している。われわれの体系の規則では、‘ (λx)(...x...)a'から‘...a...'への翻訳及びその逆の翻訳が許される。これらの変形は換位(conversion)と呼ばれる*2

読みづらい文章だが、「二つの量記号」は全称量化と存在量化のこと、"conversion" は「簡約」のことだという点に気を付ければ、言わんとしているところは明らかだと思う。個人的に、カルナップがこういう話題も本の中に織り込んでいるとはあまり予想していなかった。流石に勤勉な人だなぁ。そういえば、と。大庭健先生が次のように誉めていたのを思い出した。

この本[注:『意味と必然性』]は、彼が「意味論研究」体系と名付けたシリーズの締め括りとして執筆されておりまして、むしろ「科学言語の論理分析」としての《哲学》体系の仕上げ、とでも言った自負に満ちております。…
実際、これらカルナップの一連の著作は、少なくとも当時においては、大変に良く出来た画期的な本でありまして、《哲学的な意味論》という分野に関して言えば、こんにちの様々な仕事は、その問題設定の仕方をも含めて、このカルナップの著作なしにはありえなかったでありましょう。のみならず、全編これ無味乾燥な分析ではありますが、その姿勢そのもののうちには、あの30年代の初頭に「血と地の神話」が科学の名において適用させられることに対して、あくまで「哲学」の立場からも抵抗しつづけたカルナップの真面目さが窺われるのでありまして、かかるカルナップの一連の仕事を端から軽視してかかるのは、あまりにも軽薄に過ぎる、と申さねばなりません*3。 

「意味論研究」体系のシリーズとは、『意味論序説』、『論理学の形式化』とここで挙げた『意味と必然性』の三冊。すべて日本語に翻訳されてるのが凄い。

しかし、「30年代の初頭に「血と地の神話」が科学の名において適用させられることに対して、あくまで「哲学」の立場からも抵抗しつづけたカルナップ」というのはよく分からないな。ナチスにそんなに抵抗したのだろうか。伝記をちゃんとチェックしないといかんね。

*1:正確には、ギリシャ文字イオタを上下に反転させる。

*2:『意味と必然性』p.14.

*3:『はじめての分析哲学』p.95